Metodo polinomiale per risultati di complessità

I metodi polinomiali , affermano il Nullstellensatz combinatorio e il teorema di Chevalley – Warning, sono potenti strumenti nella combinatoria additiva. Rappresentando un problema con i polinomi adeguati, possono garantire l'esistenza di una soluzione o il numero di soluzioni ai polinomi. Sono stati usati per risolvere problemi come somme limitate o problemi a somma zero e alcuni dei teoremi in quest'area possono essere dimostrati solo con tali metodi.

Per me il modo non costruttivo di questi metodi è davvero sorprendente, e sono curioso di sapere come possiamo applicare questi metodi per dimostrare eventuali inclusioni e separazioni interessanti di classi di complessità (anche se il risultato può essere risolto con altri metodi).

Sono noti risultati di complessità che è possibile dimostrarli con metodi polinomiali?

Alcuni esempi classici dell'uso del metodo polinomiale sono:

• La prova di "Parity not in " di Razborov-Smolensky ( molte esposizioni disponibili online, eccone una )$AC^0$
• La prova di Beigel-Reingold-Spielman di "PP è chiuso sotto intersezione"
• Il risultato di Bazzi per aver ingannato i DNF e la prova di Braverman di " Polylog Independence Fools$AC^0$ "

Inoltre, la più ampia analisi delle funzioni booleane ( ecco un ottimo corso di Ryan O'Donnell ) ha una ENORME raccolta di risultati fantastici, la mia preferita è la dimostrazione del teorema di Goldreich-Levin di Kushilevitz-Mansour-Nisan .

Scott Aaronson aveva in effetti tenuto un tutorial al FOCS'08 sul " Metodo polinomiale nel calcolo classico e quantistico (ppt) ".

Spero che sia di aiuto.

C'è il risultato di Zeev Dvir sul problema del campo finito di Kakeya menzionato in precedenza su questo sito. Zeev ha usato il metodo polinomiale per abbassare il numero di punti in qualsiasi insieme di punti in F ^ n (campo finito F, n numero naturale) che contiene una linea in ogni direzione. Questo risultato ha attirato l'attenzione delle persone in analisi sul metodo polinomiale.

Il risultato di Zeev è stato motivato dal compito di costruire estrattori di casualità . Questo fa parte di un enorme sforzo nell'informatica teorica per derandomizzare gli algoritmi e, in definitiva, mostrare che i risultati di P = BPP e di complessità simile valgono.

Vedi di più nel sondaggio di Zeev: http://www.math.ias.edu/~dvir/papers/Dvir09b.pdf