Usi delle categorie

Non sono un informatico teorico. Sono un teorico stabile dell'omotopia usando le categorie . Ho visto applicazioni della teoria delle categorie e dei topoi teoria di informatica teorica, e mi chiedevo se ci fosse un modo si potrebbe usare ∞ -categories (e preferibilmente per me, teoria omotopia stabile) in informatica teorica. Penso che HoTT potrebbe essere un'applicazione del genere, ma potrei benissimo sbagliarmi perché non conosco quasi nulla di HoTT. (Quindi non so nemmeno come HoTT sia usato in TCS.)$\infty$$\infty$

L'applicazione di idee teoriche di omotopia superiore a CS è ancora un campo molto nascente! La mia comprensione è che non è nemmeno così vecchio come un campo matematico.

Certamente HoTT è l'impulso centrale per tali idee. Anche se però, ci sono state solo poche applicazioni della teoria delle categorie della "dimensione" superiore a 2.

Una bella "informatica" è la teoria delle patch omotopiche di Anguili et al . Mostrano che alcune operazioni e proprietà comuni inerenti gitai sistemi di controllo della versione possono essere meglio comprese usando la teoria dei tipi di omotopia.

Un altro treno di pensiero piuttosto non correlato è un lavoro interessante sulla relazione tra (2-) teoria dell'omologia e confluenza dei sistemi di riscrittura dei termini (o strutture più complesse come le algebre superiori). Alcuni esempi sono

Y. Guiraud Confluenza di riscrittura lineare e omologia delle algebre .

Y. Lafont e A. Proute Church-Rosser proprietà e omologia dei monoidi .

Gli informatici teorici fanno molte cose, una delle quali è la modellistica matematica di varie cose dell'informatica. Ad esempio, ci piace fornire modelli matematici dei linguaggi di programmazione, in modo che le persone possano effettivamente provare cose sui programmi (come dimostrare che il programma fa quello che dovrebbe). In questo senso è sempre bene avere una buona scorta di tecniche matematiche che ci forniranno modelli per varie cose che gli scienziati informatici escogiteranno.

$D$$D \cong D^D$

$(\infty,1)$$\infty$

L'unica connessione tra la teoria dell'omotopia stabile e la teoria dei tipi di cui sono a conoscenza è il lavoro di Matthijs Vákár sulla teoria dei tipi dipendente lineare . Apparentemente, un suo modello è la teoria dell'omotopia stabile, ma questa non è stata ancora pubblicata, accennata solo alla fine del documento collegato.

Un altro posto in cui è possibile cercare applicazioni della teoria dell'omotopia (stabile o no) nell'informatica è la topologia computazionale . La persistente omologia ha recentemente trovato molti usi e le persone stanno sicuramente esaminando applicazioni teoriche omotopiche di tipo simile. L'idea di base è utilizzare la topologia algebrica per studiare le proprietà di grandi set di dati.

Senza dubbio ci sono altre applicazioni. Cody ha menzionato l'uso della teoria dell'omotopia (nelle vesti della teoria del tipo di omotopia) per studiare i sistemi di controllo di revisione. Esistono anche applicazioni della teoria dell'omotopia allo studio di calcoli paralleli e congiunturali, come " Topologia algebrica e concorrenza ". Qualcuno più esperto può essere abbastanza gentile da fornire riferimenti migliori. In ogni caso, noterai che tutte queste applicazioni (con la possibile eccezione della teoria del tipo di omotopia) sono abbastanza poco sofisticate dal punto di vista matematico - il che non significa che siano prive di valore!

questo tenta di delineare connessioni più generali. alcuni di questi programmi possono essere considerati un'estensione molto recente e più elaborata della vecchia corrispondenza Curry-Howard annotata tra prove e programmi. esiste anche una stretta connessione con la dimostrazione di teoremi automatizzati (aka assistenti di prova). molte tecniche utilizzate nel teorema automatizzato che dimostrano che le prove non sono su basi matematiche del tutto solide e la teoria dell'omotopia aggiunge basi più solide.

questa proposta di un considerevole team acquisisce / esamina gran parte delle connessioni attualmente conosciute con CS: Homotopy Type Theory: Unified Foundation of Mathematics and Computation (Proposta MURI)

Licata di quel team è particolarmente interessata alle applicazioni scientifiche informatiche della teoria dell'omotopia. alcuni dei suoi discorsi, e uno di Voevodsky, fondatore dello straordinario assioma Univalence :

• Applicazioni matematiche e computazionali della teoria dei tipi di omotopia. Colloquio all'Università dello Iowa. Novembre 2013. [ diapositive ]

• Prove controllate da computer nella logica della teoria dell'omotopia. Conferenza su invito presso l'Associazione per la riunione simbolica nordamericana dell'Associazione per la logica simbolica. Maggio 2013. [ diapositive ]

• Programmazione e dimostrazione nella teoria del tipo di omotopia. Colloquio a Wesleyan, Princeton e Cornell. Primavera, 2013. [ diapositive ]

• Computer Science and Homotopy Theory , lezione video di 10m di Voevodsky / IAS