Grafici cubici di partizionamento dei bordi in artigli e percorsi

Ancora una volta un problema di partizionamento di cui sono curiosa la complessità, motivata da una mia precedente domanda .

Input: un grafico cubico $G=(V,E)$

Domanda: esiste una partizione di in E 1 , E 2 , ... , E s , in modo tale che il sottografo indotto da ciascuna E io o è un artiglio (cioè K 1 , 3 , spesso chiamato una stella) o un 3 -path (cioè P 4 )?$E$$E_1, E_2, \ldots, E_s$$E_i$$K_{1,3}$$3$$P_4$

Penso di aver visto un giorno un giorno in cui si è dimostrato che questo problema era NP-completo, ma non riesco più a trovarlo, e non ricordo se quel risultato si applicava ai grafici cubici. Su una questione correlata, sono consapevole che la suddivisione dei bordi di un grafico bipartito in artigli è NP-completa (vedi Dyer e Frieze ). Qualcuno ha un riferimento per il problema che descrivo o qualcosa di correlato (cioè lo stesso problema su un'altra classe di grafici, che potrei quindi provare a ridurre in grafici cubi)?

Questa non è una risposta alla complessità del problema, ma almeno mostra che la complessità ha una probabilità di non essere banale: è un esempio di un grafico cubico che non può essere suddiviso in percorsi e artigli.

_{(fonte: uci.edu )}

All'interno di ciascuno dei suoi tre lobi, qualsiasi partizione in percorsi e artigli può usare solo sei dei sette bordi. I restanti sei bordi centrali assumono la forma di un artiglio con ciascun bordo suddiviso, che non può essere suddiviso in percorsi e artigli.

ETA : il grafico mostrato sopra è più famoso come esempio di un grafico cubico senza una corrispondenza perfetta. Ma ogni grafico cubico con una corrispondenza perfetta ha una scomposizione in tracciati (nemmeno usando alcun artiglio). Secondo il teorema di König questo include tutti i grafici cubici bipartiti e dal teorema di Petersen questo include tutti i grafici cubi senza ponte, rispondendo a una domanda di Joseph Malkevitch nei commenti.

La dimostrazione è molto semplice: se M è una corrispondenza perfetta in un grafico cubico, la rimozione di M lascia un grafico a 2 regolari, cioè un'unione disgiunta di cicli. Orientare ogni ciclo in modo arbitrario e collegare ciascun bordo uv di M ai bordi del ciclo che seguono u e v negli orientamenti dei propri cicli.

Nella direzione opposta, se esiste una decomposizione in tracciati, allora esiste una corrispondenza perfetta: i bordi medi di ogni tracciato devono essere corrispondenti poiché nessun due bordi medi possono condividere un vertice di grado tre.

(Dichiarazione di non responsabilità: questa idea potrebbe essere già stata presente nel discorso invitato da Carsten Thomassen al GD 2010, che riguardava questo tipo di problema di decomposizione dei grafici.)

(Oltre al disclaimer (di Anthony Labarre): l '"idea di orientamento" per passare da un perfetto abbinamento a una partizione in percorsi appare in questo documento di Jünger, Reinelt e Pulleyblank , che la attribuiscono a WH Cunningham.)

$k$$k\geq 3$$k=3$$2$$3$

In realtà questa non era la fine della storia: se il grafico cubico è bipartito, allora è facile dividere il suo set di bordi usando solo artigli, selezionando un set di bipartition e rendendolo un set di "centri di artigli". Il problema generale è davvero difficile, che può essere provato usando una riduzione della SODDISFABILITÀ 1-IN-3 MONOTONE PLANARE CUBICO. Tutti i dettagli sono liberamente accessibili su arxiv .

Forse questo documento potrebbe essere di interesse:

Kleinschmidt, Peter Partizioni regolari di grafici regolari. Canad. Matematica. Toro. 21 (1978), n. 2, 177–181.

Si tratta di grafici che possono essere scritti come l'unione di "percorsi-Z" di lunghezza 3. (In particolare, 3 polipropoli cubici planari, 3-valenti, 3-connessi, grafici).