Problemi in

Quali problemi sono noti appartengono a ma non sono noti a appartenere a ? $\mathsf{BPP}$ $\mathsf P$

Più precisamente, sono interessato a problemi indipendenti , ovvero le cui derandomizzazioni non sono note per essere equivalenti. Ad esempio, è noto che la derandomizzazione della PIT e la fattorizzazione polinomiale multivariata sono equivalenti e le considererei come un solo problema.

La motivazione della mia domanda è che è comune dire che "ci sono pochi problemi in non conosciuti in " $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{P}$ , ma non sono riuscito a trovarne un elenco. In particolare, se devo citare problemi in questa categoria, di solito cito la fattorizzazione di polinomi univariati su campi finiti o la fattorizzazione di polinomi multivariati. Suppongo che esistano esempi che non sono collegati alla fattorizzazione polinomiale, ad esempio in altri settori come la teoria dei grafi o la teoria del linguaggio formale.

PS: Trovo curioso che una domanda simile non esista ancora su questo sito. Mi scuso se semplicemente non l'ho trovato (o loro)!

derandomization

— Bruno
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Le risposte a questo post contengono due esempi cstheory.stackexchange.com/questions/11425/…

— Mohammad Al-Turkistany,

Risposte:

Se stai chiedendo problemi indipendenti, che ne dici di:

Trova un numero primo nell'intervallo , Trova due numeri primi il cui prodotto è nell'intervallo , Trova tre numeri primi il cui prodotto è nell'intervallo , Trova quattro numeri primi il cui prodotto è nell'intervallo , Trova cinque numeri primi il cui prodotto è nell'intervallo $[N, 5N/4]$
$[N, 9N/8]$
$[N, 17N/16]$
$[N, 33N/32]$
, . $[N, 65N/64]$
$\ldots$

È estremamente probabile che se tu avessi effettivamente un algoritmo polinomiale per risolvere il primo di questi, avresti un algoritmo polinomiale per tutti loro. Ma non vedo come ridurre formalmente nessuno di questi a nessuno degli altri. Certo, il problema

Trova un numero primo nell'intervallo $[N, N+\log^{17} N ]$

risolve tutti questi.

— Peter Shor
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Per essere precisi, qual è la versione decisionale di questi problemi che hai in mente? Grazie.

— usul

@usul: non ho in mente una versione decisiva di questi problemi. Ho bisogno di? Mi rendo conto che tecnicamente BPP consiste solo in problemi di decisione. Il più delle volte, i problemi di decisione e problemi di funzione sono più o meno equivalenti, il che significa che puoi considerare solo i problemi di decisione senza perdita di generalità. Non sono sicuro che sia vero per questa domanda, e non so se il PO si preoccupi solo dei problemi di decisione o meno.

— Peter Shor,

Sto solo chiedendo perché non so esattamente quando sorgono importanti sottigliezze. Penso che dovrebbero esserci alcuni problemi di funzione che sono conosciuti incondizionatamente in "BPP" e non in "P", ad esempio producono una stringa di complessità di Kolmogorov

(?). Quindi ho pensato che la domanda avrebbe puntato su problemi di decisione, e mi chiedevo se una versione di decisione valida della tua risposta (data la conoscenza attuale) sarebbe ad esempio "c'è un numero primo in

n

$n$

[N, 5 N / 4]

$[N,5N/4]$

— usul

@usul: Per la domanda: "esiste un numero primo in

?", è noto che esiste un algoritmo a tempo costante. Sembra: dì "sì" quando

e controlla esplicitamente quando

. Hai bisogno di una teoria dei numeri per dimostrare che funziona.

[N, 5 N / 4]

$[N, 5N/4]$

N > 10^{6}

$N > 10^6$

N \leq 10^{6}

$N \leq 10^6$

— Peter Shor,

Ok, certo / bene. Penso di essere d'accordo con il commento di Kaveh in questa domanda che un naturale problema di decisione corrispondente è, dato

, c'è un numero primo in

a, b

$a,b$

[a, b]

$[a,b]$

— usul

C'è un uso particolare di casualità che è abbastanza comune in complessità parametrizzato, che coinvolge sia il lemma isolamento o la Schwartz-Zippel lemma . In parole povere, implica la definizione di una grande enumerazione di potenziali soluzioni e l'argomentazione secondo cui tutte le "soluzioni" non di soluzione (ad es. Vengono conteggiate due volte) mentre le soluzioni desiderate vengono conteggiate una sola volta. Quindi uno usa il lemma dell'isolamento per produrre una situazione con una sola soluzione più piccola, oppure definisce un polinomio formale corrispondente corrispondente su GF e usa Schwartz-Zippel per verificare se esiste un termine non associato. (Sono sicuro che ci sia una buona panoramica o un sondaggio là fuori, ma al momento mi sfugge di mente.) $(2^\ell)$

Detto questo, posso solo pensare a due casi in cui questo utilizzo porterebbe a una differenza tra BPP e P.

Il primo è il recente algoritmo per Shortest due percorsi disgiunti ( PDF dell'autore ), Björklund e Husfeldt, ICALP 2014.

$|K|=O(\log n)$ $|K|$

— Magnus Wahlström
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Non sono un esperto, ma forse alcuni esempi (non così naturali?) Possono essere direttamente derivati usando la tecnica di ridurre deterministicamente i problemi di ricerca BPP a problemi di decisione BPP , presentati in:

Oded Goldreich, In a World of P = BPP. Studies in Complexity and Cryptography 2011: 191-232

$(R_{yes},R_{no})$ $R$ $R_{yes} \subseteq R \subseteq (\{0, 1\}^∗ \times \{0, 1\}^∗) \setminus R_{no}$ $R$ $\Pi$ $(R_{yes},R_{no})$ $\Pi$ $(R_{yes},R_{no})$

Il teorema può essere esteso a problemi generali di costruzione, ad esempio (vedi Corollario 3.9 ) considera il problema di trovare un numero primo in un intervallo sufficientemente ampio:

$c > 7/12$ $N$ $[N, N + N^c]$

L'algoritmo randomizzato viene eseguito nel tempo polinomiale previsto; non è noto alcun algoritmo di tempo polinomiale deterministico; ma se BPP = P deve esistere un tale algoritmo di tempo polinomiale deterministico (perché può essere ridotto a un problema di decisione BPP).

— Marzio De Biasi
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