Formalizzare la teoria dei tipi di omotopia in Idris

Guardando il blog sulla teoria dei tipi di omotopia si può facilmente trovare molta biblioteca che formalizza la maggior parte della teoria dei tipi di omotopia ad Agda e Coq.

Qualcuno sa se esiste un tentativo simile di formalizzare HoTT in Idris ?

proof-assistants homotopy-type-theory

— Giorgio Mossa
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Non ne sono a conoscenza, e mi aspetto che probabilmente ne avremmo sentito parlare se qualcuno ci avesse provato (o almeno se ci fosse riuscito).

— Mike Shulman,

@MikeShulman I sistemi di tipi di Idris e Agda non dovrebbero essere sostanzialmente equivalenti? In tal caso dovrebbe essere possibile formalizzare anche HoTT in Idris, non è vero?

— Giorgio Mossa,

Idris è maggiormente orientato alla programmazione. Una cosa che mi preoccuperebbe è se ha l'equivalente di Agda postulateo Coq Axiom. In tal caso, come riesce a calcolarlo (è un linguaggio compilato)? Il punto è che l'assioma dell'univalenza deve essere postulateded.

— Andrej Bauer,

Non intendevo certo dire che non pensavo che sarebbe stato possibile! Non conosco nessuno che lo abbia ancora provato. Non so quasi nulla di Idris.

— Mike Shulman,

Mi aspetto che Idris ti permetta di provare l'assioma K di Streicher (unicità delle prove di identità) attraverso la corrispondenza dei modelli (come ha fatto Agda fino a poco tempo fa), il che sarebbe un problema per HoTT.

— Neel Krishnaswami,

Ecco una piccola, incompleta e incoerente formalizzazione di HoTT in Idris. Dimostra che è possibile derivare una contraddizione in Idris solo postulando l'univalenza. Al momento ci sono due ostacoli alla formalizzazione di HoTT in Idris.

Barriera 1: Idris ha l'uguaglianza eterogenea e la riscrittura eterogenea dell'uguaglianza. Dal punto di vista HoTT questo significa che abbiamo accesso al seguente principio di riscrittura, che è incompatibile con l'univalenza: Con questo principio,possiamo facilmente dimostrarlo.

\underset{P : X \to T y p e}{Π} \underset{X : X}{Π} \underset{p : X = X}{Π} \underset{un', B : P X}{Π} (t r un' n S p o r t P p un' = B) \to (un' = B)

$\prod_{P \,:\, X \to \mathsf{Type}}\ \prod_{x\,:\,X}\ \prod_{p \,:\, x = x}\ \prod_{a,\,b \,:\, P\, x} (\mathsf{transport}\ P\ p\ a = b) \to (a = b)$ True = False

Barriera 2: Il pattern matching in Idris è troppo forte per HoTT, come sospettava Neel Krishnaswami in un commento sopra. Possiamo derivare la K. di Streicher. Ciò porta all'unicità delle prove di identità ed è quindi incompatibile con l'univalenza. Possiamo ancora una volta mostrare True = False.

— Francisco Mota
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