APX è contenuto in NP?

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Si dice che un problema P si trova in APX se esiste una costante c> 0 tale che esiste un algoritmo di approssimazione del tempo polinomiale per P con fattore di approssimazione 1 + c.

APX contiene PTAS (visto semplicemente selezionando qualsiasi costante c> 0) e P.

APX è in NP? In particolare, l'esistenza di un algoritmo di approssimazione del tempo polinomiale per alcuni fattori di approssimazione implica che il problema si trova in NP?

cc.complexity-theory  complexity-classes  apx 
— Andrew W.
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Penso che "ciò che è noto sulla classe X rispetto a tutte le altre classi Y" sia troppo vago come domanda, a meno che non vengano forniti ulteriori dettagli sul tipo di relazioni ricercate.
— András Salamon,
Intendo relazioni come "contiene", "è contenuto in", "non contiene".
— Andrew W.
Dopo aver riflettuto un po ', ho ristretto la domanda alla relazione specifica a cui sono più interessato.
— Andrew W.
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Cosa significa esattamente chiedere se APX è contenuto in NP? APX è costituito da problemi approssimativi di "ottimizzazione NP", mentre NP è costituito da problemi decisionali. Inoltre, per definizione, la versione decisionale di un problema di ottimizzazione NP è in NP. Forse avevi in ​​mente qualcos'altro?
— Joshua Grochow,
Hai ragione Giosuè. Ian ha risposto alla domanda che avrei dovuto porre.
— Andrew W.

Risposte:

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APX è definito come un sottoinsieme di NPO, quindi sì, se un problema di ottimizzazione è in APX, il corrispondente problema di decisione è in NP.

Tuttavia, se ciò che stai chiedendo è se un problema arbitrario deve essere in NP (o NPO) se esiste un approssimale O (1) poli-tempo, la risposta è no. Non conosco alcun problema naturale che funga da controesempio, ma si potrebbe definire un problema di massimizzazione artificiale in cui l'obiettivo è la somma di due termini, un termine ampio che può essere facilmente ottimizzato in P e un termine molto più piccolo ciò aggiunge una piccola quantità se parte della soluzione codifica una risposta a qualche problema difficile (al di fuori di NP). Quindi potresti trovare, diciamo, un'approssimazione 2 in poli-tempo concentrandoti sul termine facile, ma trovare una soluzione ottimale richiederebbe di risolvere il problema difficile.

— Ian
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Ho accettato la tua risposta perché riguardava sia la domanda che ho posto ("L'APX è contenuto in NP?") Sia la domanda che avrei dovuto porre ("Un O poli-tempo (1) implica approssimativamente una soluzione esatta in NP?").
— Andrew W.
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Una vasta gamma di problemi che non sono contenuti in NPO e NP ma hanno un'approssimazione a fattore costante è la classe dei problemi online (La domanda su quale classe di complessità contenga problemi online è qui cstheory.stackexchange.com/questions/1664/… ) .
— Oleksandr Bondarenko,
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