Valutare la multilinearizzazione di un circuito aritmetico?

Let p ( x 1 , ... , x n ) un polinomio multivariata con coefficienti su un campo F . La multilinearization di p , indicato con p , è il risultato di sostituire ripetutamente ogni x d i con d > 1 per x i . Il risultato è ovviamente un polinomio multilineare.$p(x_1,\ldots,x_n)$$F$$p$$\hat{p}$$x_i^d$$d > 1$$x_i$

Si consideri il seguente problema: dato un circuito aritmetico C ( x 1 , ... , x n ) su F e dato campo elementi a 1 , ... , un n , calcolare C ( un 1 , ... , un n ) .$C(x_1,\ldots,x_n)$$F$$a_1,\ldots,a_n$$\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

Domanda: Supponendo che l'aritmetica di campo possa essere eseguita in unità di tempo, esiste un algoritmo del tempo polinomiale per questo? Aggiunto in seguito: sarei anche interessato al caso speciale in cui C è in realtà una formula (un circuito di fan-out 1 ).$C$$1$

Nel caso in cui il campo F abbia una dimensione di almeno 2 n , penso che questo problema sia difficile. Più specificamente, penso che se quanto sopra può essere risolto in modo efficiente per F così grande, allora CNF-SAT ha algoritmi randomizzati efficienti. Supponiamo che ci venga data una formula CNF φ . Si può facilmente creare un circuito aritmetico C che calcola una `` aritmetizzazione '' p di φ , in cui il polinomio p concorda con la formula φ su 0 - 1 ingressi. Si consideri che la multilinearizzazione q è d' accordo con p e quindi $F$$2n$$F$$\varphi$$C$$p$$\varphi$$p$$\varphi$$0$$1$$q$ di p . Si noti che $p$$q$$p$$\varphi$ su { 0 , 1 } n .$\{0,1\}^n$

Dichiaro che q è diverso da zero se φ è soddisfacente. Chiaramente, se q = 0 , allora φ non può essere soddisfatto. Per il contrario, si può dimostrare che qualsiasi polinomio multilineare diverso da zero non può svanire su tutti { 0 , 1 } n . Ciò implica che un q diverso da zero (e quindi il corrispondente φ ) non svanisce con qualche input in { 0 , 1 } n .$q$$\varphi$$q=0$$\varphi$$\{0,1\}^n$$q$$\varphi$$\{0,1\}^n$

Pertanto, verificare la soddisfacibilità di φ equivale a verificare se q è diverso da zero. Dire, ora, che abbiamo potuto valutare q su un grande campo F . Quindi, usando Schwartz-Zippel Lemma, potremmo testare l'identità q usando un algoritmo randomizzato efficiente e verificare se è il polinomio zero (la dimensione di$\varphi$$q$$q$$F$$q$$F$ is used to upper bound the error in the Schwartz-Zippel Lemma).

Assume that there is polytime algorithm that given $C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ and $\vec{a}$ computed the result of the multi-linearization of $C$ on $\vec{a}$. (w.l.o.g. I will assume that the output $\vec{b}$ will be a vector of $p$-bit binary numbers $b_i$ is $k$ iff the $b_{i,k}$ is one.)

Since $P \subseteq P/poly$, there is a polysize boolean circuit that given the encoding of the arithmetic circuit and the values for the variables computes the multi-linearization of the arithmetic circuit on the inputs. Let call this circuit $M$.

Let $C$ be an arbitrary arithmetic circuit. Fix the variables of the boolean circuit $M$ which describe the arithmetic circuit, so we have a boolean circuit computing the multi-linearization of $C$ on given inputs.

We can turn this circuit into an arithmetic circuit over $F_p$ by noting that $x^{p-1}$ is $1$ for all values but $0$ so first raise all inputs to the power $p-1$. Replace each $f \land g$ gate by multiplication $f.g$, each $f \lor g$ gate by $f+g-f.g$ and each $\lnot f$ gate by $1-f$.

By the assumption we made above about the format of the output, we can turn the output from binary to values over $F_p$. Take the output for $b_i$ and combine them to get $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$.

We can also convert the input given as values over $F_p$ to binary form since there are polynomials passing through any finite number of points. E.g. if we are working in $\bmod 3$, consider the polynomials $2x(x+1)$ and $2x(x+2)$ which give the first and the second bits of the input $x \in F_3$.

Combining these we have an arithmetic circuit over $F_p$ computing the multi-linearization of $C$ with size polynomail in the size of $C$.