Tempo di copertura dei grafici diretti

Data una camminata casuale su un grafico, il tempo di copertura è la prima volta (numero previsto di passi) che ogni vertice è stato colpito (coperto) dalla camminata. Per i grafici non indirizzati collegati, è noto che il tempo di copertura è limitato da . Esistono digrafi fortemente connessi con esponenziale del tempo di copertura in . Un esempio di questo, è il digrafo costituito da un ciclo diretto e bordi , dai vertici . A partire dal vertice , il tempo previsto per una camminata casuale per raggiungere il vertice è . Ho due domande:$O(n^3)$$n$$(1, 2, ..., n, 1)$$(j, 1)$$j = 2, ..., n − 1$$1$$n$$\Omega(2^n)$

1) Quali sono le classi note di grafici diretti con tempo di copertura polinomiale? Queste classi potrebbero essere caratterizzate da proprietà teorico-grafiche (o) da proprietà della matrice di adiacenza corrispondente (diciamo ). Ad esempio, se è simmetrico, il tempo di copertura del grafico è polinomiale.$A$$A$

2) Esistono esempi più semplici (come l'esempio del ciclo sopra menzionato) in cui il tempo di copertura è esponenziale?

3) Ci sono esempi con tempo di copertura quasi polinomiale?

Gradirei qualsiasi suggerimento per buoni sondaggi / libri su questo argomento.

Il tempo di miscelazione chiaramente polinomiale implica un tempo di copertura polinomiale. (Beh, non in generale. Abbiamo bisogno della probabilità stazionaria almeno su ciascun vertice.) Quindi controlla il documento di Mihail Conduttanza e convergenza delle catene di Markov, un trattamento combinatorio di espansori che dimostra una rapida miscelazione di regolari grafici diretti e catene di Markov generali basate sulla conduttanza.$1/poly(n)$

Vedi anche il documento Pseudorandom cammina su digraph regolari e il problema RL vs. L di Reingold, Trevisan e Vadhan. A seguito del lavoro di Mihail. Hanno definito il parametro che è equivalente a λ 2 ( G ) , il secondo autovalore più grande in valore assoluto, quando il grafico G è reversibile nel tempo e rimane ben definito per le catene generali di Markov. Questo parametro viene quindi utilizzato per delimitare il tempo di miscelazione di G .$\lambda_\pi(G)$$\lambda_2(G)$$G$$G$

Colin Cooper e Alan Frieze hanno una serie di risultati nel contesto di digrafi casuali che potrebbero essere di interesse. Studiano le proprietà di una semplice passeggiata casuale sul grafico diretto casuale quando n p = d log n , d > 1 . Hanno dimostrato che:$D_{n,p}$$np=d \log n, d>1$

• Per , whp il tempo di copertura di D n , p è asintotico per d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n . Se d = d ( n ) → ∞ con n , il tempo di copertura è asintotico per n log n .$d > 1$$D_{n,p}$$d \log (d/(d-1)) n \log n$$d=d(n) \rightarrow \infty$$n$$n \log n$

• Se e d > 1 allora whp C G n , p ∼ d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n .$p = d \log n/n$$d>1$$C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$

• Lascia che e che x denotino la soluzione in ( 0 , 1 ) di x = 1 - e - d x . Sia X g il componente gigante di G n , p , p = d / n . Quindi montare C X g ∼ d x ( 2 - x $d>1$$x$$(0,1)$$x = 1-e^{-dx}$$X_g$$G_{n,p},p=d/n$.$C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$

• Se è una costante e G n , r indica un grafico r -regolare casuale sul set di vertici [ n ] con r ≥ 3, quindi whp C G n , r ∼ r - $r \geq 3$$G_{n,r}$$r$$[n]$$r \geq 3$.$C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$

• Se è una costante e G m indica un grafico di attacco preferenziale in media grado 2 m, allora whp C G m ∼ 2 $m \geq 2$$G_m$$2m$.$C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$

• Se e G r , k è un grafico geometrico casuale in R k della dimensione della sfera r tale che il grado atteso di un vertice è asintotico a d log n , quindi whp C G r , k ∼ d log ( $k \geq 3$$G_{r,k}$$\mathcal{R}^k$$r$$d \log n$.$C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

Vedi Cooper, C., & Frieze, A. Distribuzione stazionaria e tempo di copertura di camminate casuali su digrafi casuali. Journal of Combinatorial Theory, Series B. (2011).