Trovare il DFA più piccolo che separa due parole senza usare la ricerca della forza bruta?

Dato due stringhe xey, voglio creare un DFA di dimensioni minime che accetta xe rifiuta y. Un modo per farlo è la ricerca della forza bruta. Enumera DFA iniziando dal più piccolo. Prova ogni DFA fino a quando non ne trovi uno che accetta x e rifiuta y.

Voglio sapere se esiste un altro modo noto per trovare o creare un DFA di dimensioni minime che accetta xe rifiuta y. In altre parole, possiamo battere la ricerca della forza bruta?

Più dettaglio:

(1) Voglio davvero che un algoritmo trovi un DFA di dimensioni minime, non un DFA di dimensioni minime.

(2) Non voglio solo sapere quanto sia grande o piccolo il DFA minimo.

(3) Proprio qui, sono concentrato solo sul caso in cui tu avessi due stringhe xey.

Modifica :

Ulteriori informazioni per il lettore interessato:

Supponiamo che e siano stringhe binarie di lunghezza al massimo . È noto che esiste un DFA che accetta e rifiuta con al massimo stati. Si noti che esistono circa DFA con un alfabeto binario e al massimo stati. Pertanto, l'approccio della forza bruta non ci richiederebbe di enumerare più di DFA. Ne consegue che l'approccio della forza bruta non potrebbe richiedere molto più di volta.y n x y $x$$y$$n$$x$$y$ n$\sqrt{n}$$n^{\sqrt{n}}$ n$\sqrt{n}$ n$n^{\sqrt{n}}$$n^{\sqrt{n}}$

Diapositive che ho trovato utili: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/sep2.pdf

Se dovessi farlo in pratica, userei un solutore SAT.

La domanda se esiste un DFA con stati che accetta rifiuta può essere facilmente espressa come istanza SAT. Ad esempio, un modo è quello di avere variabili booleane: è vero se il DFA passa dallo stato allo stato sul bit di ingresso . Quindi aggiungi alcune clausole per imporre che si tratta di un DFA e alcune variabili e clausole per imporre che accetta e rifiuta .x y 2 k 2 z s , b , t s t b x $k$$x$$y$$2k^2$$z_{s,b,t}$$s$$t$$b$$x$$y$

Ora usa la ricerca binaria su per trovare la più piccola in modo che esista un DFA di questo tipo. Sulla base di ciò che ho letto in articoli sul problema correlato, mi aspetto che questo potrebbe essere ragionevolmente efficace nella pratica.$k$$k$

Altre codifiche di questo come SAT sono possibili. Ad esempio, possiamo usare una codifica di traccia:

• Se è di lunghezza , puoi aggiungere variabili booleane: lascia che sia la sequenza di stati attraversati sull'input e rappresenti ogni usando variabili booleane .m m lg k s 0 , s 1 , … , s m x s i ⌈ lg k $x$$m$$m\lg k$$s_0,s_1,\dots,s_m$$x$$s_i$$\lceil \lg k \rceil$

• Ora per ogni tale che , hai il vincolo chex i = x $i,j$$x_i=x_j$ .$s_{i-1}=s_{j-1} \implies s_i=s_j$

• Successivamente, estendere questo per gestire : lasciate t 0 , ... , t n la successione di stati attraversati in ingresso y , e rappresentare ogni t j utilizzando lg k variabili booleane. Per ogni i , j tale che y i = y j , aggiungi il vincolo che .$y$$t_0,\dots,t_n$$y$$t_j$$\lg k$$i,j$$y_i=y_j$$t_{i-1}=t_{j-1} \implies t_i=t_j$

• Allo stesso modo, per ogni tale che x i = y j , aggiungi il vincolo che è i - 1 = t j - 1$i,j$$x_i=y_j$ .$s_{i-1}=t_{j-1} \implies s_i=t_j$

• Entrambe le tracce devono iniziare dallo stesso punto iniziale, quindi aggiungi il requisito che (WLOG puoi richiedere s 0 = t 0 = 0 ).$s_0=t_0$$s_0=t_0=0$

• Per garantire che il DFA utilizzi solo stati, è necessario che 0 ≤ s i < k e 0 ≤ t j < k per tutti i , j .$k$$0 \le s_i < k$$0 \le t_j <k$$i,j$

• Infine, per codificare il requisito che sia accettato e y sia rifiutato, è necessario che s m ≠ t n .$x$$y$$s_m \ne t_n$

Tutti questi requisiti possono essere codificati come clausole SAT.

Come in precedenza, utilizzeresti la ricerca binaria su per trovare il k più piccolo per cui esiste un DFA del genere.$k$$k$