Programmazione lineare intera in numero logaritmico di variabili

Ho letto che la programmazione lineare intera è risolvibile in tempo polinominale se il numero di variabili è fisso, cioè . Se il numero di variabili aumenta logaritmicamente, cioè per un dato input di dimensione , il problema è ancora risolvibile in tempo polinominale o è un problema aperto? $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— user3613886
fonte

Non è possibile aggiungere vincoli banalmente veri per aumentare le dimensioni dell'input?

— joro,

Perché dovresti voler aumentare la dimensione dell'input?

— user3613886

Rendere l'input così grande da rendere logaritmico il numero di variabili e soddisfare la tua domanda.

— joro,

ma nella domanda supponiamo già che le variabili siano logaritmiche rispetto alla dimensione dell'input

— user3613886

Ho pensato di creare tutte le istanze come tue, ma ciò potrebbe aumentare in modo esponenziale l'input.

— joro,

Posso solo dare una risposta parziale a questa domanda.

Un risultato di Lenstra (successivamente migliorato da Kannan e Frank e Tardos) afferma che ILP con variabili può essere risolto nel tempo (volte un polinomio delle dimensioni dell'ILP). Pertanto, ILP è in P quando il numero di variabili è . Non sono sicuro se sia noto un algoritmo o se tale algoritmo contraddirebbe l'ETH. $k$ $k^{O(k)}$ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

Ho trovato queste informazioni nella tesi di Daniel Lokshtanov. Ecco i riferimenti rilevanti.

HW Lenstra. Programmazione intera con un numero fisso di variabili. Mathematics of Operations Research, 8: 538-548, 1983.
R. Kannan. Teorema del corpo convesso di Minkowski e programmazione di numeri interi. Mathematics of Operations Research, 12: 415–440, 1987.
Andras Frank ed Eva Tardos. Un'applicazione di approssimazione diofantea simultanea nell'ottimizzazione combinatoria. Combinatorica, 7: 49–65, 1987.

— Michael Lampis
fonte

Penso che avresti bisogno di un algoritmo O (k ^ p) per una p fissa, dal momento che anche un algoritmo con 2 ^ O (k) sarebbe esponenziale?

— user3613886,

Mi dispiace, ho usato una notazione diversa dalla domanda. Per

intendo il numero di variabili, e

è la dimensione dell'input, quindi un algoritmo di

sarebbe un tempo polinomiale se

k

$k$

n

$n$

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

— Michael Lampis,

Ma supponi di avere solo variabili binarie, non sarebbe una forza bruta

2^{k}

$2^k$

— user3613886

@utente3613886, certo, ma questo è un problema / domanda diversa. Non ci era stato promesso nella domanda che le variabili sono binarie.

— DW

Non è possibile aggiungere vincoli banalmente veri per aumentare le dimensioni dell'input?

— joro