Applicazioni pratiche di giochi di parità

Esistono esempi di applicazioni pratiche dei giochi di parità, ovvero dei sistemi, nel mondo reale, che possono essere rappresentati come giochi di parità?

Di solito la documentazione relativa ai giochi di parità non ha quasi mai un esempio pratico di questa applicazione.

Ecco un'applicazione piuttosto diversa da quella che potresti avere in mente. La programmazione lineare ha molte applicazioni pratiche. Esistono molti algoritmi per la programmazione lineare e quelli basati sul metodo simplex di George Dantzig sono tra i più comunemente implementati. Un importante parametro di simplex è chiamato regola pivotante. Victor Klee e George Minty forniscono una serie di polipetti su cui la regola di rotazione suggerita da Dantzig richiederebbe un numero esponenziale di passaggi di rotazione. Da allora, sono stati scoperti esempi che dimostrano un limite inferiore esponenziale per quasi ogni regola pivotante deterministica.

Simplex può tuttavia utilizzare regole di rotazione casuali. Gil Kalai nel 1992 introdusse una regola di rotazione randomizzata e dimostrò un limite superiore sub-esponenziale per simplex con questa regola. Sempre nel 1992, Micha Sharir ed Emo Welzl hanno definito problemi di tipo LP che includono la programmazione lineare standard e con Jiří Matoušek hanno anche proposto varianti randomizzate di simplex e dimostrato limiti superiori sub-esponenziali per questa variante. Limiti inferiori esponenziali sono stati scoperti anche su problemi di tipo LP, ma fino al 2010 non c'erano esempi concreti di programmi lineari sui quali questi limiti inferiori potevano essere dimostrati. Vedi questi due post sul blog di Gil Kalai per un altro racconto di questa storia, il collegamento con la congettura di Hirsch e collegamenti con la letteratura.

Cosa c'entra questo con i giochi di parità? Sono necessari un paio di passaggi per impostare una connessione. Un problema aperto nella ricerca sui giochi di parità fino al 2009 circa era determinare se alcuni algoritmi di iterazione delle politiche per risolvere i giochi di parità potessero avere un comportamento esponenziale. Vedi gli articoli di Marcin Jurdziński per ulteriori informazioni al riguardo. Oliver Friedmann, a partire dal 2009 , ha esposto esempi di giochi di parità in cui alcuni algoritmi di iterazione delle politiche richiedevano tempo esponenziale. Sfruttando una connessione tra i giochi di parità e alcuni problemi di tipo LP ha derivato limiti inferiori sub-esponenziali per varie regole pivotanti per simplex. (Si noti tuttavia che uno dei risultati, che riguardava l'algoritmo Random Facet, è stato mostrato da Oliver Friedmann, Thomas Hansen e Uri Zwick essere errato).

Spero che tu sia d'accordo che sia un esempio piuttosto affascinante e convincente di un'applicazione di giochi di parità.

C'è anche una risposta più diretta alla tua domanda. Supponiamo che si desideri progettare un controller discreto che regola il comportamento di alcuni sistemi fisici (termostato, impianto chimico, ecc.) In base allo stato del sistema e allo stato dell'ambiente. La questione se esiste un controller per fornire le garanzie richieste da un designer può essere ridotta alla risoluzione di giochi di parità. Quindi puoi pensare a un gioco di parità in termini di sistemi, ambienti e controller.

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