Curioso delle prove di completezza NP assistita da computer

Nell'articolo "LA COMPLESSITÀ DEI PROBLEMI DI SODDISFAZIONE" di Thomas J. Schaefer, l'autore ha menzionato che

This raises the intriguing possibility of computer-assisted NP-completeness proofs. Once the researcher has established the basic framework for simulating conjunctions of clauses, the relational complexity could be explored with the help of a computer. The computer would be instructed to randomly generate various input configurations and test whether the defined relation was non-affine, non-bijunctive, etc.

Naturalmente, questa è una limitazione:

The fruitfulness of such an approach remains to be proved: the enumeration of the elements of a relation on lO or 15 variables is Surely not a light computational task.

Sono curioso che

1. Ci sono ricerche di follow-up nello sviluppo di questa idea di "prove di completezza NP assistita da computer"? Qual è lo stato dell'arte (può essere specifico per o )? Poiché Schaefer ha proposto l'idea della prova di completezza NP "assistita da computer" (almeno per le riduzioni da ), ciò significa che ci sono alcuni principi / strutture generali alla base di tali riduzioni (per quelli di o )? Se sì, quali sono? 3-Partition SAT 3SAT$\textsf{3SAT}$$\textsf{3-Partition}$
   $\textsf{SAT}$$\textsf{3SAT}$$\text{3-Partition}$
2. Qualcuno ha esperienza nel dimostrare la completezza NP con un assistente informatico? O qualcuno può fare un esempio artificiale?

Per quanto riguarda la domanda 2, ci sono almeno due esempi di prove di che coinvolgono l'assistente informatico.$NP$

Erickson e Ruskey hanno fornito una prova assistita dal computer che Domino Tatami Covering è NP completo. Hanno dato una riduzione del tempo polinomiale dalla copertura planare 3-SAT al tatami domino. Un solutore SAT (Minisat) è stato utilizzato per automatizzare il rilevamento di gadget nella riduzione. Non sono note altre prove di .$NP$

Ruepp e Holzer hanno dimostrato che il puzzle a matita Kakuro è completo di . Alcune parti della prova di sono state generate automaticamente utilizzando un solutore SAT (di nuovo Minisat).N $NP$$NP$

k k Θ p 2$k\geq 3$$k$$k$$\Theta_2^p$$k$$k>3$$12$$k=3$

La complessità della forza cromatica e della forza del bordo cromatico. Complessità computazionale, 14 (4): 308-340, 2006

Dal commento sopra:

Ho usato la libreria Choco Java per la programmazione di Vincoli per verificare il comportamento corretto dei gadget utilizzati per dimostrare la completezza NP dei seguenti puzzle: Puzzle binario, Tende, Puzzle con cubetti rotanti senza celle libere, Net. Non ho ancora avuto il tempo di pubblicarli, ma i progetti di bozze sono disponibili sul mio blog.

$0$$1$$n \times n$ che simuli:

(A) un gate logico (AND + OR) e collegamenti, se vogliamo usare PLANAR SAT come problema NPC sorgente; o

(B) un nodo di grado 3 in cui esattamente 1 entrata e 1 uscita possono essere attivate contemporaneamente, se vogliamo usare il CICLO HAMILTONIANO sui grafici a griglia come problema NPC sorgente (nota che in questo caso, deve esserci un altro condizione che forza un "percorso connesso").

In entrambi i casi utilizziamo una configurazione iniziale che fissa i confini dei gadget (per vietare interazioni indesiderate) e consentiamo l'interazione tra due gadget adiacenti solo attraverso un elemento centrale (o gruppo di elementi). La configurazione di tale elemento centrale dovrebbe rappresentare un valore logico nel caso (A) o una traversata nel caso (B).

Ad esempio per modellare un AND:

***C***   *=fixed elements (initial config. of the puzzle)
*xxxxx*   x=internal logic (some elements can be fixed,
AxxxxxB     other must be completed/traversed)
*xxxxx*   A,B,C=elements shared with adjacent gadgets
*******

A questo punto per controllare il gadget usando un solutore SAT (è meglio usare un CPL) è sufficiente implementare le regole del puzzle, quindi verificare la soddisfacibilità quando A, B, C prendono tutte le possibili combinazioni di valori; e vedere se sono coerenti con il comportamento desiderato. Ad esempio, nel caso AND, in tutte le configurazioni valide (soddisfacenti) del gadget in cui C è vero (C rappresenta il valore logico vero), sia A che B devono essere veri.

Se i gadget sono molto complicati (ad esempio nel puzzle del cubo di rotolamento) penso che sia l'unico modo per garantire che funzionino correttamente (e che la prova NPC sia corretta).

Ho fatto proprio questo - prova di completezza NP assistita da computer - nella mia tesi di laurea!

La parte negativa: è in russo e non è stato tradotto in inglese. http://is.ifmo.ru/diploma-theses/_dvorkin_bachelor.pdf

Ho lavorato con porte logiche in problemi 2D. Il piano è:

• Progetta manualmente l'aspetto di un "filo" nel tuo problema.
• Utilizza una ricerca molto intelligente e ottimizzata (in effetti programmazione dinamica su set di profili) per progettare automaticamente tutte le porte logiche necessarie.
• PROFITTO!

Il codice è disponibile, a proposito: https://code.google.com/p/metadynamic-programming/

In questo modo, con il lavoro manuale solo per progettare il filo e codificare le regole dello specifico problema 2D, sono stato in grado di dimostrare la completezza NP di:

• Dragamine
• Area di copertura con domino orizzontale e trimino verticali
• $k$$k \ge 4$$k \in [4,6]$

l'interrogante ha indicato di essere d'accordo con un'interpretazione più ampia dell'affermazione di Schaefer in una risposta. per coincidenza ho raccolto link per un blog su un argomento vicino e ne scriverò qui.

l'affermazione originale (sec 7 p225) è chiara nelle sue intenzioni, come illustrato con esempio di una riduzione completa NP da 2 coloranti perfetti corrispondenti a 7.1 usando la "dicotomia thm" 2.1.

$F(x)$

$F(x)$$x$

prendendo in considerazione queste idee generali, si può vedere che sono cresciute ed esplorate in molte aree di ricerca da quando queste riflessioni / "idee seme" del 1978 hanno portato a interi rami e programmi di ricerca ancora in corso, nessuno dei quali esisteva in quasi nessuna forma al momento della stesura del documento Schaefers. 1 ^° un'idea generale è analisi empirica di NP proprietà completezza tramite generatori istanza / risolutori / analizzatori .

• la più grande area di ricerca qui generata è in casi casuali di SAT e osservandone le prestazioni del solutore SAT che hanno portato alla scoperta del punto di transizione verso la metà degli anni '90, in seguito dimostrato di avere profonde connessioni con la fisica statistica e un aspetto apparentemente ubiquitario / intrinseco / fondamentale / caratteristica di tutti i problemi NP completi. ci sono molti articoli in quest'area e ora alcuni libri. vedi ad esempio Informazioni, fisica e calcolo Mezard / Montanari

• Decomposizione dei problemi di soddisfacibilità o Utilizzo dei grafici per ottenere una migliore comprensione dei problemi di soddisfacibilità , Herwig 2006 (83pp). questo è un approccio un po 'nuovo rispetto ad altre ricerche pubblicate che esaminano la struttura del grafico a clausole variabili delle istanze SAT generate e analizzano la loro struttura / metrica per trovare correlazioni con la durezza.

• si possono prendere problemi difficili congetturati e codificarli come istanze SAT e quindi esaminare la loro struttura o eseguire solutori SAT su di essi e osservare il comportamento dinamico dei solutori SAT. non è facile capire quando è stato fatto il primo, ma un primo caso riguarda il factoring, probabilmente verso la metà degli anni '90, e questi casi sono emersi nei concorsi del solutore DIMACS SAT. sfortunatamente questo non era necessariamente considerato risultati di ricerca separatamente pubblicabili al momento. ci sono allusioni in alcuni giornali SAT.

  si veda ad esempio soddisfare questa: un tentativo di Solving Primo fattorizzazione utilizzando Soddisfacibilità risolutori da Stefan Schoenmackers, Anna Cavender e anche domanda cs.se riducendo problema fattorizzazione di interi a NP completo problema e (ci sono alcuni altri sparsi (domande StackExchange correlati / T) CS su Questo).

2 ^° un'altra moderna idea generale / seme inerente Schaefers vecchia dichiarazione è attaccando problemi algoritmici o matematici dure in genere convertendoli in casi SAT, e l'utilizzo off-the-shelf (ma state-of-the-art) SAT risolutori (vale a dire La risoluzione SAT può essere considerata in senso lato come uno dei primi casi di logica / matematica del teorema automatizzato al computer che dimostra dove le soluzioni di formula SAT sono come "teoremi", anche se è vero che il pov moderno potrebbe essersi spostato un po ') e ci sono alcuni notevoli recenti successi su questo fronte.

• il problema della discrepanza di Erdos relativo ai limiti delle passeggiate casuali è molto difficile e i progressi sono stati limitati con approcci analitici e recentemente è stato adottato un approccio empirico nuovo / senza precedenti con SAT per ottenere alcuni risultati chiave su un problema aperto correlato, celebrato da molti come vera svolta. un attacco SAT alla congettura di discrepanza di Erdos Konev, Lisitsa

• la ricerca su reti di smistamento ottimali risale a decenni fa e ci sono problemi naturali e aperti su dimensioni minime di reti per ordinare un determinato numero di elementi. negli ultimi anni si sono registrati importanti progressi nella conversione di questi in istanze SAT e nell'esecuzione di solutori standard su di essi. Nuovi limiti sulle reti di smistamento ottimali Ehlers, Müller, cita anche altri lavori recenti.