Confronto della complessità delle teorie di Kolmogorov

Il teorema di incompletezza di Chaitin afferma che nessuna teoria dell'aritmetica sufficientemente forte può dimostrare $K(s) > L$ dove $K(s)$ è la complessità di Kolmogorov della stringa $s$ e $L$ è una costante sufficientemente grande. $L$ è sufficientemente grande se è più grande della dimensione in bit di una macchina di controllo di prova (PCM). Un PCM per teoria $T$ prende una stringa codificata come un intero come ingresso ed emette un 1 se la stringa è una prova valida nel linguaggio di $T$ .

Supponiamo che $L(T) > |PCM_T|$per la teoria $T$ è un limite superiore per la complessità di $T$ . Considera la seguente gerarchia di teorie: lascia che la teoria di base sia l' aritmetica di Robinson ( $Q$ ). Aumenta $Q$ con assiomi sempre più forti dell'induzione polinomiale limitata. Sia $Q^*$ la teoria dei teoremi dimostrabile con $Q$ e uno qualsiasi di questi assiomi di induzione limitati. Supponiamo di poter definire $L(Q)$ e $L({Q^*})$ definendo i PCM per ciascuna teoria.

Voglio prendere in considerazione una macchina di controllo delle prove avanzata (EPCM) per $Q^*$ . Questo EPCM accetta una stringa come input proprio come un ECM e ha un secondo input che definisce il grado e il livello di una sotto-teoria di $Q^*$ . Se la stringa di input è una prova valida in $Q^*$ l'EPCM passa attraverso le fasi della prova per determinare il grado più alto e il livello di induzione utilizzato. Questo EPCM scrive quindi un 1 se la frase di input è una prova valida nella sotto-teoria specificata di $Q^*$ .

Il correttore di bozze avanzato che descrivo è fattibile? In tal caso, la dimensione di questo EPCM sarebbe un limite superiore non solo per la complessità di , ma anche un limite superiore per la complessità di qualsiasi sotto-teoria di Q ∗ ?$Q^*$$Q^*$

È ragionevole dire che esiste un limite superiore costante alla complessità di e di tutte le sue sotto-teorie?$Q^*$

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Questa domanda è stata ispirata dalla mancata prova di Nelson dell'incoerenza dell'aritmetica. Non l'ho fatto notare prima perché alcune persone trovano quella prova inquietante. La mia motivazione è fare una domanda interessante. CSTheory sembra essere il forum giusto per questa domanda. La complessità di e di tutte le sue sotto-teorie è o limitata da una costante o illimitata. Entrambe le risposte portano a più domande.$Q^*$

Se la complessità delle teorie secondarie è illimitata, possiamo porre domande come qual è la sotto-teoria più debole di più complessa di Q ∗ ? O più complesso di PA e ZFC? Pensare a questa domanda mi ha già mostrato che esiste un limite grave a quanto una teoria può dimostrare sulla complessità delle stringhe di Kolmogorov. Se Q ∗ è coerente, nessuna delle sue sotto-teorie può dimostrare K ( s ) > L ( Q ∗ ) per qualsiasi stringa. Ciò significa che anche sotto-teorie davvero forti non possono dimostrare che ci sono stringhe più complesse di qualche sotto-teoria molto più debole in cui la teoria più debole è più complessa di $Q^*$$Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$ .$Q^*$

Proverò a dare una risposta a questa domanda e cercherò di chiarire un po 'di confusione sulla forma esatta della domanda.

Il primo punto che voglio fare: la nella dichiarazione della costante di chaitin è infatti una funzione di T . In senso assoluto , è monotonico nell'espressività di T : se L ( T ) è il numero naturale più piccolo per il quale T ⊬ K ( s ) ≥ L ( T ) per qualsiasi stringa s , allora se T ′ è una teoria coerente più forte di T ( T ⊢ φ implica T $L$$T$$T$$L(T)$

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$ per qualsiasi frase aritmetica φ ( s ) ≥ L per ipotesi.$T'\vdash\varphi$$\varphi$) quindi . L'argomento è molto semplice: se esiste s tale che T ⊢ K ( s ) ≥ L allora T ′ ⊢ $L(T')\geq L(T)$$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

Tuttavia, questo è vero solo se è la costante assoluta di Chaitin. In particolare, se T ′ dimostra C o n ( T ) , allora T ′ ⊢ ∃ L ∀ s ⌈ T ⊬ K ( ¯ s ) ≥ ¯ L$L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

interiorizzando l'argomento di Chaitin. Tuttavia , una l concreta per la quale$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

in generale non sarà uguale a $L(T)$ . In particolare può essere molto più grande, generalmente proporzionale alla dimensione della prova in T $\mathrm{Con}(T)$$T'$ . Questo può essere facilmente visto nella dimostrazione del teorema stesso, che si basa essenzialmente sulla consistenza del .$T$

Quindi, mentre può dimostrare la coerenza del sistema con l'induzione limitata, la lunghezza di queste prove aumenta più si avvicina a Q ∗ nell'espressività (un modo per comprendere i teoremi di incompletezza è che la lunghezza diventa infinita quando si raggiunge Q ∗ , quindi non ha prove finite di coerenza in Q ∗ stesso). Lo stesso vale per i vari limiti superiori sulla L ( T ) interna$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$ s può descrivere per ogni sotto-teoria.$Q^*$

Quindi, ecco la breve risposta alla tua domanda: è delimitata in modo uniforme per tutte le sotto-teorie di Q ∗ , ma Q $L(T)$$Q^*$$Q^*$ sotto-teorie stesso non può dimostrare che questo limite valga per tutte queste sotto-teorie. Questo è stato l'errore fondamentale che Nelson ha fatto (sepolto sotto diversi strati di formalismo) e che Tao ha sottolineato qui .