Se P = NP fosse vero, sarebbero utili i computer quantistici?

Supponiamo che P = NP sia vero. Ci sarebbe quindi qualche applicazione pratica per costruire un computer quantistico come risolvere alcuni problemi più velocemente o qualsiasi miglioramento del genere sarebbe irrilevante in base al fatto che P = NP è vero? Come definiresti il ​​miglioramento dell'efficienza che si verificherebbe se un computer quantistico potesse essere costruito in un mondo in cui P = NP, al contrario di un mondo in cui P! = NP?

Ecco un esempio inventato di ciò che sto cercando:

Se P! = NP, vediamo che la classe di complessità ABC è uguale alla classe di complessità quantistica XYZ ... ma se P = NP, la classe ABC collassa comunque alla relativa classe UVW.

(Motivazione: sono curioso di questo e relativamente nuovo per l'informatica quantistica; si prega di migrare questa domanda se non è sufficientemente avanzata.)

L'articolo " BQP and the Polynomial Hierarchy " di Scott Aaronson affronta direttamente la tua domanda. Se P = NP, allora PH collasserebbe. Se inoltre BQP fosse in PH, allora in quel caso non sarebbe possibile alcuna accelerazione quantistica. D'altra parte, Aaronson fornisce prove di un problema con l'accelerazione quantistica al di fuori del PH, quindi un tale accelleramento sopravviverebbe a un collasso del PH.

La risposta è un sì inequivocabile. I computer quantistici sarebbero sicuramente ancora utili.

I computer quantistici non sono oracoli per BQP, ma piuttosto dispositivi che elaborano stati quantistici e possono comunicare usando stati quantistici. Proprio come la capacità di fare query non deterministiche è fondamentalmente più potente della capacità di fare query puramente deterministiche, indipendentemente dallo stato di P vs NP (e in effetti questa è la radice delle separazioni dell'oracolo), la capacità di fare query quantistiche e comunicare usando gli stati quantistici è fondamentalmente più potente della controparte puramente classica.

Ciò porta a vantaggi in una vasta gamma di applicazioni

1. La capacità di interrogare oracoli o database esterni in sovrapposizione fornisce una provabile separazione tra computer quantistici e computer classici in termini di complessità della query.
2. Ci sono una varietà di compiti di comunicazione che vedono drastiche riduzioni dei costi di comunicazione che la comunicazione quantistica viene utilizzata.
3. L'elaborazione quantistica delle informazioni consente protocolli teoricamente sicuri per una gamma di problemi più ampia di quanto sia possibile classicamente. Certamente QKD non richiede l'implementazione di un computer quantistico universale, ma lo fanno molti protocolli per altre attività.
4. La pre e post-elaborazione di grandi stati quantici impigliati consente di violare il limite del rumore di sparo in metrologia, ottenendo misurazioni più precise.

A parte gli argomenti di complessità, c'è un'altra ragione pratica per volere i computer quantistici. Al giorno d'oggi gran parte dei dati elaborati su computer classici deriva dal rilevamento del mondo naturale (ad esempio tramite il CCD in una fotocamera digitale). Tuttavia, tali misurazioni gettano necessariamente alcune informazioni sul sistema al fine di rendere il risultato della misurazione come una classica stringa di bit (ad esempio il collasso di sovrapposizioni spaziali di fotoni), e non è sempre chiaro quali informazioni saranno successivamente considerate le più importanti quando inizialmente registrando i dati. È quindi ragionevole credere che la capacità di memorizzare ed elaborare direttamente gli stati quantistici, anziché collassarli in qualche base prima dell'elaborazione, diventerà sempre più desiderabile.

Affrontare la parte pratica.

$P=NP$$O(n^{2^{10^3}})$

$O(n^{10^{10000}})$

Per quanto ne so, un computer quantistico sufficientemente potente sarà di interesse pratico in questo caso.

Esistono studi sulla relazione tra BQP e la gerachia polinomiale PH. Ad esempio, esiste un problema relativo al quale BQP non è contenuto in PH ( http://arxiv.org/abs/0910.4698 ) e una congettura che dimostra lo stesso risultato in un mondo non relativizzato ( http://arxiv.org /abs/1007.0305$P^{\# P}\subseteq BPP^{PH}$

In conclusione, non sappiamo quale sia la potenza esatta dei computer quantistici, ma ci sono risultati che suggeriscono che BQP potrebbe essere al di fuori del PH.