Qual era l'intento originale per la creazione del calcolo Lambda?

22

Ho letto che inizialmente Church ha proposto il calcolo come parte dei suoi Postulati di Logica $\lambda$ (che è una lettura densa). Ma Kleene dimostrò che il suo "sistema" era incoerente, dopodiché Church estrasse cose rilevanti per il suo lavoro sulla "calcolabilità effettiva" e abbandonò il suo precedente lavoro sulla logica.

Quindi, come ho capito, il sistema e le sue notazioni hanno preso forma come parte di qualcosa a che fare con la logica. Che cosa stava inizialmente cercando di ottenere la Chiesa che ha abbandonato dopo? Quali sono stati i motivi iniziali per creare il calcolo ? $\lambda$ $\lambda$

— dottorato di Ricerca
fonte

1

— Errore di battitura

26

Voleva creare un sistema formale per le basi della logica e della matematica che fosse più semplice della teoria dei tipi di Russell e della teoria degli insiemi di Zermelo.

L'idea di base era di aggiungere una costante al calcolo lambda non tipizzato (o logica combinatoria) e interpretare come espressione di " soddisfa il predicato " e come espressione di " ". Con le regole che esprimono queste intenzioni si può quindi interpretare il -fragment della logica dei predicati intuizionistica e comprensione senza restrizioni, l'unico problema è che dal paradosso di curry, ogni è derivabile. $\Xi$ $XZ$ $Z$ $X$ $\Xi XY$ $X\subseteq Y$ ${\to}{\forall}$ $X$

Vedi pag. 7 di:

Cardone e Hindley, Storia di Lambda-calculus e Combinatory Logic , 2006: http://www.users.waitrose.com/~hindley/SomePapers_PDFs/2006CarHin,HistlamRp.pdf

Oltre all'introduzione a:

Barendregt, Bunder e Dekkers, Sistemi di logica combinatoria illettiva completi per calcolo proposizionale e predicato del primo ordine , JSL 58-3 (1993): http://ftp.cs.ru.nl/CompMath.Found/ICL1.ps

— Ulrik Buchholtz
fonte

8

"L'unico problema è che dal paradosso di Curry, ogni

è derivabile" :) Potrebbe essere utile ricordare qual è il paradosso del curry: Dato che esiste un termine

tale che

per ogni

, uno può quindi scrivere

che è una proposizione

tale che

, dando la stessa contraddizione del paradosso di Russel. La non terminazione è cruciale qui, che ha motivato la creazione di semplicemente

X

$X$

Y

$Y$

Y M = M (Y M)

$YM=M(YM)$

M

$M$

Y (\neg)

$Y(\neg)$

ϕ

$\phi$

ϕ \Leftrightarrow \neg ϕ

$\phi\Leftrightarrow\neg\phi$

λ

$\lambda$ calcolo , in cui termina ogni termine.

— cody

2

Non sono sicuro che questo fosse parte della motivazione per la creazione del calcolo lambda, ma il calcolo lambda è stato usato per risolvere il problema di Entscheidungs , proposto da Hilbert nel 1928. Turing ha risolto autonomamente il problema di Entscheidungs introducendo la macchina di Turing.

Dall'articolo di Wikipedia sul problema di Entscheidungs:

Nel 1936, Alonzo Church e Alan Turing pubblicarono articoli indipendenti [2] che dimostravano che una soluzione generale al problema di Entscheidungs era impossibile, supponendo che la nozione intuitiva di "effettivamente calcolabile" sia catturata dalle funzioni calcolabili da una macchina di Turing (o equivalentemente, da quelli espressi nel calcolo lambda).

— littleO
fonte

1

Questa è la "conseguenza" di aver creato il calcolo Lambda in precedenza. Ha appena riutilizzato una parte critica per fornire una definizione di calcolabilità effettiva.

— Dottorato di ricerca