Gaussiani indipendenti a coppie

Dato (tra gaussiani con media e varianza ), è possibile (come? ) (per ) tale che siano gaussiani indipendenti a coppie con media e varianza . $X_1,\ldots,X_k$ $0$ $1$ $m=k^2$ $Y_1, \ldots, Y_m$ $Y_i$ $0$ $1$

derandomization pr.probability

— Kaveh
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@Suresh, quindi non sembra funzionare.

E [(X_{i} + X_{j}) (X_{i} + X_{k})] = E [X_{i}^{2}] = 1

$E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$

— Kaveh,

Non so perché, ma trovo la risposta MO a questa domanda abbastanza divertente (a parte il puntatore a stats.SE): mathoverflow.net/questions/46180/…

— Suresh Venkat,

Quello che stavo cercando era qualcosa come prendere combinazioni lineari (che ovviamente non funzionano) o polinomi ecc. (Che non funzionano immediatamente) ma non riesco davvero a pensare a nessuna nozione ragionevole che la risposta di Shai su mathoverflow non soddisfa.

forse dovresti aggiornare la domanda sottolineando la risposta su MO?

— Suresh Venkat,

Hai bisogno di una distribuzione congiunta gaussiana? In tal caso, ciò di cui hai bisogno sembra impossibile poiché tale distribuzione è determinata dalla sua matrice di covarianza e quindi l'indipendenza a coppie e la piena indipendenza sarebbero le stesse.

— MCH

Risposte:

La pubblicazione su MathOverflow spiega come passare da un piccolo numero di variabili casuali Uniform [0,1] indipendenti a un numero maggiore di variabili casuali Uniform [0,1] indipendenti. Ovviamente puoi andare avanti e indietro tra Uniform [0,1] e Gaussian invertendo il CDF. Ma ciò richiede un'analisi numerica poiché il CDF non è in forma chiusa.

Tuttavia, esiste un modo più semplice di passare dall'uniforme gaussiana all'uniforme. Dati due Gaussiani indipendenti , l'angolo è uniforme nell'intervallo . $X_1, X_2$ $\arctan(X_1/X_2)$ $[0,2 \pi]$

Allo stesso modo, il metodo Box-Muller trasforma due variabili Uniform [0,1] indipendenti in due variabili casuali gaussiane indipendenti.

Usando queste due trasformazioni, consumi due gaussiani per produrre un'uniforme o due uniformi per produrre un gaussiano. Quindi c'è solo un fattore di nell'efficienza di campionamento. Inoltre, non è richiesta alcuna inversione del normale cdf. $O(1)$

— David Harris
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-2

Questa costruzione NON fornisce variabili indipendenti a coppie (anzi, sotto) come richiesto da Anindya, ma fornisce variabili non correlate a coppie che sono sufficienti per ottenere buoni limiti di concentrazione per la somma attraverso la disuguaglianza di Chebyshev (e questo è molte volte l'obiettivo finale). $|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

Per ogni coppia distinta , lascia , dove è la funzione del segno. È chiaro che ogni è una variabile normale con media 0 e varianza 1. Per vedere che sono ortogonali, per , nota che che può essere facilmente verificato per uguagliare 0 osservando i vari casi di possibili uguaglianze tra . $(i,j) \in {[k] \choose 2}$ $Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$ $\sigma(\cdot)$ $Y_{i,j}$ $(i,j) \neq (i',j')$

E [Y_{i, j} Y_{i^{'}, j^{'}}] = E [| X_{i} X_{i^{'}} | \cdot σ (X_{i} X_{i^{'}} X_{j} X_{j^{'}})]

$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$

i, i^{'}, j, j^{'}

$i,i',j,j'$

PS: una versione precedente rivendicava falsamente l'indipendenza a coppie.

— arnab
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Non riesco a capire perché la media del prodotto pari a zero implicherebbe l'indipendenza.

— Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto: le tue critiche erano corrette, ovviamente. Ho ancora lasciato questa risposta, poiché penso sia interessante.

— Arnab

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— Tsuyoshi Ito,