Conseguenze computazionali del teorema del punto fisso Upper Shift di Friedman (non dimostrabile)?

Harvey Friedman ha mostrato che esiste un risultato preciso in virgola fissa che non può essere dimostrato nella ZFC (la solita teoria degli insiemi di Zermelo-Frankel con l'Assioma della Scelta). Molte logiche moderne sono costruite su operatori a virgola fissa, quindi mi chiedevo: sono note conseguenze del teorema del punto fisso Upper Shift per l'informatica teorica?

Teorema del punto fisso Maiuscolo non provabile
Per tutti , alcuni A = cubo ( A , 0 ) ∖ R [ A ] ci contiene ( A ) .$R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$$A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$$\text{us}(A)$

Il teorema USFP sembra essere un'istruzione , quindi potrebbe essere "abbastanza vicino" alla calcolabilità (come il controllo del non isomorfismo delle strutture automatiche), per avere un impatto sull'informatica teorica.$\Pi^1_1$

Per completezza, ecco le definizioni tratte dal discorso del Friedman sul MIT del novembre 2009 (vedi anche il progetto di "Teoria delle relazioni booleane" ).

è l'insieme di numeri razionali. x , y ∈ Q k sonoequivalenti all'ordinese ogni volta 1 ≤ i , j ≤ k quindi x i < x j ⇔ y i < y j . Quando x ∈ Q k lospostamento superioredi x , indicato con noi ( x ) , si ottiene aggiungendo 1 ad ogni coordinata non negativa di x . Una relazione$Q$$x, y \in Q^k$$1 \le i,j \le k$$x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$$x \in Q^k$$x$$\text{us}(x)$$x$ èordine invariantese per ogni ordineinvarianteequivalente x , y ∈ Q k vale che x ∈ A ⇔ y ∈ A . Una relazione R ⊆ Q k × Q k è invariante all'ordine se R è invariante all'ordine come sottoinsieme di Q 2 k , ed èstrettamente dominantese per tutte x , y ∈ Q k ogni volta che R $A \subseteq Q^k$ $x,y \in Q^k$$x \in A \Leftrightarrow y \in A$$R \subseteq Q^k \times Q^k$$R$$Q^{2k}$$x,y \in Q^k$ quindi max ( x ) < max ( y ) . Inoltre se A è un sottoinsieme di Q k allora R [ A ] indica { y | ∃ x ∈ A R ( x , y ) } , lo spostamento superiore di A è us ( A ) = { us ( x ) | x ∈ $R(x,y)$$\max(x) \lt \max(y)$$A$$Q^k$$R[A]$$\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$$A$ e il cubo ( A , 0 ) indica il minimo B k tale che 0 ∈ B e A sono contenuti in B k . Sia SDOI ( Q k , Q k ) denota l'insieme di tutte le relazioni invarianti di ordine strettamente dominanti R ⊆ Q k × Q k .$\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$$\text{cube}(A,0)$$B^k$$0 \in B$$A$$B^k$$\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$$R \subseteq Q^k \times Q^k$

Modifica: Come sottolinea Dömötör Pálvölgyi nei commenti, considerare e R come il solito ordinamento su razionali sembra fornire un controesempio. Innanzitutto, l'insieme A non può essere vuoto, poiché R [ A ] è quindi anche vuoto e A dovrebbe quindi contenere 0 per la condizione del cubo, una contraddizione. Se l'insieme non vuoto A ha un'influenza, allora non può contenere razionali maggiori di questo, quindi deve essere un singleton, che contraddice la condizione di spostamento superiore. Se invece A non ha alcun dato, allora R [ A ] = $k=1$$R$$A$$R[A]$$A$$A$$A$$R[A] = Q$quindi deve essere vuoto, una contraddizione. Qualche commento sul fatto che ci siano problemi di definizione nascosti o non ovvi, come forse un modello implicito non standard delle razionali?$A$

Ulteriore modifica: l'argomento sopra è approssimativamente corretto, ma è sbagliato nell'applicazione del turno superiore. Questo operatore si applica solo alle coordinate non negative , quindi l'impostazione come qualsiasi insieme singleton negativo produce un punto fisso, come desiderato. In altre parole, se m < 0 allora A = { m } è una soluzione e non ci sono altre soluzioni.$A$$m < 0$$A = \{m\}$

Non conosco alcuna conseguenza di questo particolare teorema, ma le prove di normalizzazione dei calcoli lambda come il calcolo delle costruzioni induttive si basano su grandi assiomi cardinali - anche se l'insieme dei termini lambda è numerabile come si potrebbe desiderare.

Penso che il modo migliore per comprendere il significato computazionale degli assiomi set-teorici che affermano l'esistenza di grandi cardinali sia quello di pensare alla teoria degli insiemi come un modo di formulare la teoria dei grafici. Cioè, un modello di un insieme è una raccolta di elementi dotati di una relazione binaria utilizzata per interpretare l'appartenenza. Quindi, gli assiomi della teoria degli insiemi ti dicono le proprietà della relazione di appartenenza, incluso come puoi formare nuovi insiemi da vecchi. In particolare, l'assioma della fondazione significa che la relazione di appartenenza è fondata (cioè non ha catene discendenti infinite). Questa fondatezza a sua volta significa che se è possibile allineare gli stati di esecuzione di un programma con l'appartenenza transitoria degli elementi di un set, si ha una prova di terminazione.

Quindi un'affermazione che esiste un set "grande" ha un payoff computazionale come affermazione che una certa classe di loop in un linguaggio di programmazione ricorsivo generale termina. Questa interpretazione funziona in modo uniforme, fino al semplice vecchio assioma dell'infinito (che giustifica l'iterazione numerica naturale) fino ai grandi assiomi cardinali.

Questi assiomi sono veri ? Bene, se l'assioma è falso puoi trovare un programma in una di queste classi che non termina. Ma se è vero, non ne saremo mai sicuri, grazie al teorema di Halting. Tutto, dall'induzione naturale dei numeri in poi, è una questione di induzione scientifica , che può sempre essere falsificata da esperimenti - Edward Nelson ha notoriamente sperato di dimostrare che l'espiazione è una funzione parziale!