Questi giochi da colorare sono stati risolti?

Nel documento "Sulla complessità di alcuni giochi di colorazione", Bodlaender pone alcune domande aperte sulla complessità di decidere se il giocatore 1 o 2 ha una strategia vincente in alcuni giochi di colorazione di grafici. Qualcuno sa se sono stati risolti?

1) In una partita, due giocatori a turno selezionano un vertice in un grafico e lo colorano correttamente con un colore da un set finito fisso. Il perdente è il primo giocatore che non è in grado di colorare un vertice. Nel documento di Schaefer viene mostrato che è completo di pspace con 1 colore e Bodlaender mostra che è completo di pspace con 2 colori, ma non fornisce alcuna risposta con più colori. È ancora aperto?

2) In un'altra variante, i vertici hanno numeri 1..n. Nel turno di un giocatore deve colorare correttamente il vertice con il numero più basso che non è stato ancora colorato. Ancora una volta, stanno usando i colori di un set fisso e il perdente è il primo giocatore che non è in grado di colorare il suo vertice. Bodlaender mostra che è completo di pspace per i grafici generali. Chiede chi vince sugli alberi, è noto?

Grazie

graph-colouring pspace two-player-games

— user32149
fonte

Perché non chiedi direttamente a Bodlaender? staff.science.uu.nl/~bodla101

— Gamow,

Sembra che questo articolo abbia alcune delle cose che stai cercando: http://arxiv.org/abs/1202.5762

La forma generale della prima domanda è una riduzione davvero semplice: usando i colori {0, ..., n-1}, inizia con un'istanza di Node Kayles e crea un vertice per ciascuno dei colori da 1 a n-1 e connettiti ad ogni vertice incolore. Ora quei colori non possono essere giocati e stai ancora giocando al gioco Node Kayles.

— Kyle
fonte

Grazie per il link, darò un'occhiata. In questa domanda, non consentiamo una "pre-colorazione", quindi non possiamo supporre che alcuni vertici abbiano già un colore. Il gioco inizia con tutti i vertici non colorati.

— user32149

Questo ha senso, ma cambia la questione della durezza. Per molti giochi, è noto quale giocatore ha una strategia vincente da una posizione iniziale, ma non è noto quale giocatore abbia una strategia vincente in una posizione generale. Prendi Hex per esempio. Qui il primo giocatore ha una strategia vincente. Da una posizione generale, determinare se il giocatore successivo a muoversi ha una strategia vincente è PSPACE completo.

— Kyle,

Sì, hai ragione, avrei dovuto chiarire la domanda originale. Sto parlando della complessità computazionale di determinare chi vince su un dato grafico prima che i vertici siano stati colorati.

— user32149

È una domanda interessante, certo. Soprattutto perché stai parlando di un grafico generale e non ponendo alcun requisito sulla sua struttura. Sarò sicuramente interessato a sapere se lo capisci!

— Kyle,