La complessità di verificare se due CNF hanno lo stesso numero di soluzioni

Dato due CNF, se hanno lo stesso numero di incarichi per realizzarli, rispondi "Sì", altrimenti rispondi "No".

È facile vedere che è in , poiché se conosciamo il numero esatto di soluzioni a questi due CNF, li accampiamo e rispondiamo "Sì" o "No". $P^{\#P}$

Qual è la complessità di questo problema?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— Mike Chen
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Risposte:

Il problema è coNP -hard; puoi facilmente ridurre il problema UNSAT a questo problema.

Una caratterizzazione più precisa è che il problema è C ₌ P -completo. In effetti, una definizione della classe C ₌ P è che è la classe di problemi che sono molti volte polinomiali riducibili a questo stesso problema (di solito questa definizione è dichiarata in termini di funzioni GapP ). Ma dal momento che questo non dice molto, permettimi di definire questa classe in un altro modo.

Sia C ₌ P la classe di problemi che sono molti volte polinomiali riducibili al seguente problema: dato un circuito booleano φ e un intero K (in binario), decidere se il numero di assegnazioni soddisfacenti di φ è uguale a K . Con una riduzione standard che mostra la completezza # P di # 3SAT, possiamo limitare φ ad essere una formula 3CNF senza influenzare la classe. La classe C ₌ P contiene una classe chiamata US , che contiene sia UP che coNP.

Con questa definizione, il tuo problema è C ₌ P-complete. In realtà, la durezza C ₌ P è facile da vedere dalla definizione della classe C ₌ P (che utilizza le formule 3CNF).

Per dimostrare l'appartenenza a C ₌ P, supponiamo che dobbiamo decidere se due date formule CNF φ ₁ e φ ₂ hanno lo stesso numero di incarichi soddisfacenti o meno. Senza perdita di generalità possiamo supporre che le due formule abbiano lo stesso numero di variabili, diciamo n . Costruire un circuito booleano φ che accetta n +1 bit come input in modo che il numero di assegnazioni soddisfacenti di φ sia uguale a c ₁ + (2 ⁿ - c ₂ ), dove c ₁ e c ₂essere il numero di incarichi soddisfacenti di φ ₁ e φ ₂ , rispettivamente. Quindi il numero di incarichi soddisfacenti di φ è uguale a 2 ⁿ se e solo se c ₁ = c ₂ .

— Tsuyoshi Ito
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@Kaveh: puoi elaborare?

— Tsuyoshi Ito,

@Kaveh: No, non è quello che vogliamo. Vogliamo decidere se φ_1 e φ_2 hanno lo stesso numero di incarichi soddisfacenti, non necessariamente lo stesso insieme di incarichi soddisfacenti.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: in base alla tua definizione di , GI è in ? Penso che almeno GI .

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— Mike Chen,

@Mike: grazie per l'interessante commento. Stai parlando del risultato che Graph Isomorphism ∈ SPP (Arvind and Kurur 2006 dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002 )? Se è così, hai ragione; SPP è contenuto in , quindi Isomorfismo grafico ∈ .

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito,

@Mike: ho imparato che prima del risultato GraphIso∈SPP, era noto che GraphIso ∈ LWPP : Köbler, Schöning e Torán 1992 . Poiché LWPP ⊆ WPP ⊆ , non abbiamo avuto bisogno del risultato più forte di Arvind e Kurur per dire che GraphIso∈ .

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— Tsuyoshi Ito,

Ecco una piccola variazione sulla domanda originale. Sia un oracolo che, in input genera 1 se CNF ha più soluzioni di CNF . $O$ $(f_1,f_2)$ $f_1$ $f_2$

Dato questo oracolo, costruiamo una macchina poli-tempo grado di risolvere il problema # P-completo di calcolare il numero di soluzioni per un dato CNF . Nota che può avere un numero esponenziale di soluzioni. $M$ $\varphi$ $\varphi$

$M$ funziona come segue: genera formule con un numero noto di soluzioni, e usando la ricerca binaria e chiedendo alla maggior parte delle domande polinomiali a , trova una formula che ha lo stesso numero di soluzioni di . Produce infine il numero di soluzioni appena trovate. $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

Ciò dimostra che ha complessità #P. $M^O$

— MS Dousti
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Perdona la mia ignoranza, ma come si genera una formula con un numero predefinito di soluzioni?

— Giorgio Camerani,

Sia M un numero a bit (k + 1)

, e sia

l'indice

dove

. Crea una formula con le variabili

. Per ogni

, sia

i seguenti sottomoduli: "Tutti i sono veri E tra

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$ solo è vero. " ha compiti soddisfacenti (le variabili sono gratuite), e per , le assegnazioni soddisfacente e sono disgiunti causa delle . variabili La formula ha soddisfacente assegnazioni.

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$

2^{i}

$2^i$

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$

i \neq j

$i\ne j$

F_{i}

$F_i$

F_{j}

$F_j$

y

$y$

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$

M

$M$

— mikero

Si noti che è completo PP per decidere se, date due formule CNF f_1 e f_2, f_1 ha compiti più soddisfacenti di f_2 oppure no.

— Tsuyoshi Ito,

@mikero: Ah, stupido me! Avrei dovuto immaginarlo. Grazie per la tua spiegazione illuminante.

— Giorgio Camerani,

Sembra quasi NP-difficile poiché si può facilmente costruire una formula SAT con una sola soluzione. Quindi, secondo il teorema di Valiant-Vazirani, c'è una riduzione probabilistica da ogni formula SAT a una serie di problemi Unique-SAT (determinando se una formula ha una soluzione unica) e confrontando quei problemi Unique-SAT con la formula SAT costruita con una sola soluzione consente di determinare la soddisfacibilità della formula SAT in esame.

— Optare
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Per essere precisi, la prima frase dovrebbe menzionare "sotto riducibilità randomizzata" (sebbene tu la menzioni nella seconda frase).

— Tsuyoshi Ito,