Problemi con grandi lacune di complessità aperta

Questa domanda riguarda problemi per i quali esiste un grande divario di complessità aperta tra limite inferiore e limite superiore noti, ma non a causa di problemi aperti sulle classi di complessità stesse.

Per essere più precisi, supponiamo che un problema abbia classi di gap $A,B$ (con $A\subseteq B$ , non definito in modo univoco) se $A$ è una classe massima per la quale possiamo dimostrare che è $A$ -hard e $B$ è un limite superiore minimo noto , ovvero abbiamo un algoritmo in risolve il problema. Ciò significa che se scopriamo che il problema è completo con , non avrà alcun impatto sulla teoria della complessità in generale, al contrario di trovare un algoritmo per un completo.C A ⊆ C ⊆ B P N $B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

Non sono interessato ai problemi con e , perché è già l'oggetto di questa domanda .B = N $A\subseteq P$$B=NP$

Sto cercando esempi di problemi con le classi di gap che sono il più possibile. Per limitare la portata e precisare la domanda, sono particolarmente interessato ai problemi con $A\subseteq P$ e $B\supseteq EXPTIME$ , il che significa che sia l'appartenenza a $P$ che $EXPTIME$ completezza sono coerenti con le conoscenze attuali , senza far collassare le classi note (ad esempio classi da questo elenco ).

Il problema dell'equivalenza del nodo .

Dati due nodi tracciati nell'aereo, sono topologicamente uguali? Questo problema è noto per essere decidibile e non sembra esserci alcun ostacolo alla complessità computazionale nel suo essere in P. Il miglior limite superiore attualmente noto sulla sua complessità temporale sembra essere una torre di s di altezza c n , dove c = 10 10 6 e n è il numero di incroci nei diagrammi dei nodi. Questo deriva da un limite di Coward e Lackenby sul numero di mosse di Reidemeister necessarie per portare un nodo a uno equivalente. Vedi il documento più recente di Lackenby$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ per alcuni risultati correlati più recenti e per la forma esplicita del limite che do sopra (pagina 16).

Ecco una versione del problema di dimensione minima del circuito (MCSP): data la tabella di verità a bit di una funzione booleana, ha un circuito di dimensioni al massimo di 2 n / 2 ?$2^n$$2^{n/2}$

Noto per non essere in . Contenuto in N P . Generalmente si crede di essere N P -Hard, ma questo è aperto. Credo che non sia nemmeno noto per essere A C 0 [ 2 ] -hard. In effetti, un recente lavoro con Cody Murray (che apparirà in CCC'15) mostra che non esiste una riduzione NC0 uniforme da PARITY a MCSP.$AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

La complessità del calcolo di un bit (specificato in binario) di un numero algebrico irrazionale (come $\sqrt{2}$) has the best known upper bound of $\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$ via a reduction to the problem $\mathsf{BitSLP}$ which known to have this upper bound [ABD14]. On the other hand we do not even know if this problem is harder than computing the parity of $n$ bits - for all we know this problem could be in $\mathsf{AC^0}$. Notice however that we know that no finite automaton can compute the bits of an irrational algebraic number [AB07]

Another natural topological problem, similar in spirit to Peter Shor's answer, is embeddability of 2-dimensional abstract simplicial complexes in $\mathbb{R}^3$. In general it's natural to ask when can we effectively/efficiently decide that an abstract $k$-dimensional simplicial complex can be embedded in $\mathbb{R}^d$. For $k=1$ and $d=2$ this is the graph planarity problem and has a linear-time algorithm. For $k=2$ and $d=2$ there is also a linear time algorithm. The $k=2$, $d=3$ case was open until last year, when it was shown to be decidable by Matousek, Sedgwick, Tancer, and Wagner. They say that their algorithm has a primitive recursive time bound, but larger than a tower of exponentials. On the other hand they speculate that it might be possible to put the problem in NP, but going beyond that would be challenging. However, there doesn't seem to be any strong evidence that a polytime algorithm is impossible.

The latter paper has many references for further reading.

Multicounter automata (MCAs) are finite automata equipped with counters that can be incremented and decremented within one step but only take integers >=0 as numbers. Unlike Minsky machines (aka counter automata), MCAs are not allowed to test whether a counter is zero.

One of the algorithmic problems with a huge gap related to MSCs is the Reachability problem. E.g., whether the automaton can reach, from a configuration with the initial state and all counters zero, a configuration with an accepting state, and all counters zero again.

The problem is hard for EXPTIME (as shown by Richard Lipton in 1976), decidable (Ernst Mayr, 1981) and solvable in Fω3 (thanks, Sylvain, for pointing this out). A huge gap.

$\mathsf{QMA}(2)$ (Quantum Merlin-Arthur with two unentangled provers): certainly $\mathsf{QMA}$-hard, but only known to be in $\mathsf{NEXP}$.

The computational problem associated to Noether's Normalization Lemma for explicit varieties ("explicit" in the sense of this paper [freely available full version]). Best known upper bound is $\mathsf{EXPSPACE}$ (note, SPACE, not TIME!) but it is conjectured to be in $\mathsf{P}$ (and indeed, its being in $\mathsf{P}$ is essentially equivalent to derandomizing PIT).

The Skolem problem (given a linear recurrence with integer base cases and integer coefficients, does it ever reach the value 0) is known to be NP-hard and not known to be decidable. As far as I know anything in between would be consistent with our current knowledge without any collapses of standard complexity classes.