La costante di Cheeger

Ho letto in innumerevoli articoli che determinare la costante di Cheeger di un grafico è -hard. Sembra un teorema popolare, ma non ho mai trovato né una citazione né una prova per questa affermazione. A chi dovrei dare credito? In un vecchio documento (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar dimostra solo questa affermazione "per grafici con bordi multipli". $\mathsf{NP}$

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— Delio M.
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Risposte:

$\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ). Non riuscivo a capire per un po 'a cosa si riferissero, dal momento che non si fa menzione dell'espansione dei bordi nel documento di riferimento. Ho comunicato con Avi Wigderson al riguardo. Alla fine è emerso che si può usare la durezza di Max-Cut, come mostrato nella carta Garey et al., Per mostrare relativamente facilmente che l'espansione dei bordi è dura. Adesso dimentico i dettagli ma non dovrebbe essere difficile ricrearli. Il documento di Blum etal sulla durezza del controllo se un grafico è un superconcentratore non implica direttamente la durezza dell'espansione del bordo. Tecnicamente non sono lo stesso problema.

— Chandra Chekuri
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Il mio documento che utilizza la durezza di espansione del bordo è quello sotto onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract . Ci riferiamo al documento Leighton-Rao e quello di Garey, Johnson, Stockmeyer per la durezza dell'espansione dei bordi.

— Chandra Chekuri,

Grazie! Quindi tecnicamente parlando la durezza nel determinare la costante di Cheeger non è dimostrata in letteratura?

— Delio M.

@DelioM. il riferimento Kaibel in una delle risposte di Mohammad ha una prova completa. È solo la riduzione di Garey-Johnson-Stockmeyer dal taglio massimo non ponderato al taglio minimo, con una breve dimostrazione che nei grafici prodotti dalla riduzione il taglio più raro è un taglio.

— Sasho Nikolov,

Anche se, devo confessare che mi sono perso. Ho sempre pensato che max-cut fosse legato al problema di caratterizzare "quanto sia bipartito" un grafico. In che modo questo può aiutare a trovare "quanto è connesso" un grafico? In modo equivalente, come può il secondo autovalore più basso del Laplaciano senza segno legare il secondo autovalore più basso del laplaciano? Che una presa con limite inferiore sia evidente, ma un limite superiore?

— Delio M.

@DelioM. Max Cut viene prima ridotto a Min Bisection aggiungendo più

vertici e prendendo il complemento del grafico risultante. Quindi questa riduzione si riferisce alla vicinanza di un grafico bipartito alla connessione di un altro grafico (correlato al complemento del primo).

n

$n$

— Sasho Nikolov,

L'effettiva dimostrazione della -hardness del calcolo della costante di Cheeger (o espansione dei bordi) è stata fornita da Kaibel in un rapporto tecnico mediante una riduzione del problema del taglio MAX (vedi teorema 2). La dimostrazione è un'estensione della dimostrazione della -hardness del problema equicut fornita da Garey, Johnson e Stockmeyer in Alcuni problemi grafici semplificati con NP completo . $NP$ $NP$

V. Kaibel: sull'espansione dei grafici di 0/1-politopi. Rapporto tecnico arXiv: math.CO/0112146, 2001

EDIT : l'argomento di seguito è errato , come sottolineato da Chekuri, e lasciato a scopo educativo.

Questo non è un riferimento come richiesto, ma spiega lo stato folcloristico del risultato di durezza.

Ecco un'idea di prova della completezza del CoNP nel decidere se un grafico cubico collegato è un espansore di bordi e quindi determinare la costante di Cheeger è CoNP-difficile. $h(G)$

Il problema di bisection minimo è completo $NP$ per i grafici cubi collegati. Qui vogliamo decidere se un grafico con un numero intero può essere partizionato in due parti di uguali dimensioni in modo tale che il numero di bordi tagliati sia inferiore a . $G$ $k$ $k$

Si noti che il complemento di questo problema equivale a decidere se il grafico è espansore o meno (ogni partizione bilanciata di ha bordi tagliati più di ). $G$ $V$ $k$

PS Arora in questo seminario afferma che è -hard a riconoscere il grafico expander (espansione del bordo). http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— Mohammad Al-Turkistany
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Anche questa dimostrazione non funziona, perché la dimensione della sezione minima non dice nulla sull'espansione del bordo da sola. Ad esempio, un grafico disconnesso su

vertici può avere una bisection minima

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov,

Il grafico

è un grafico cubico collegato e per questa classe il problema di bisection minimo è NP-completo.

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany,

@SashoNikolov Non ho mai visto nessuno interessato all'espansione dei grafici disconnessi.

— Mohammad Al-Turkistany,

Arora, non Aurora. Non dubito che decidere

sia difficile. Ma in due risposte non hai fornito né un riferimento con la prova, né una prova. I grafici disconnessi servono solo a mostrarti che i tuoi argomenti sono falsi. Il tuo "fix" non funziona neanche. Posso facilmente mostrarti un grafico cubico collegato con una grande sezione minima e una costante di Cheeger arbitrariamente vicino allo zero. I due problemi sono correlati ma non nel modo banale che stai suggerendo.

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

— Sasho Nikolov,

Ω (n)

$\Omega(n)$