Sono note funzioni esistenti con la seguente proprietà di somma diretta?

Questa domanda può essere posta nel quadro della complessità circuitale dei circuiti booleani, o nel quadro della teoria della complessità algebrica, o probabilmente in molti altri contesti. È facile dimostrare, contando gli argomenti, che esistono funzioni booleane su N input che richiedono esponenzialmente molte porte (anche se ovviamente non abbiamo esempi espliciti). Supponiamo di voler valutare la stessa funzione M volte, per alcuni numeri interi M, su M insiemi distinti di ingressi, in modo che il numero totale di ingressi sia MN. Cioè, vogliamo solo valutare per la stessa funzionefin ogni momento.$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

La domanda è: è noto che esiste una sequenza di funzioni (una funzione per ogni N) tale che, per ogni N, per qualsiasi M, il numero totale di porte richiesto è almeno uguale a M volte una funzione esponenziale di N? Il semplice argomento del conteggio non sembra funzionare poiché vogliamo che questo risultato valga per tutti i M. Uno può trovare semplici analoghi di questa domanda nella teoria della complessità algebrica e in altre aree.$f$

Bene, questo è falso: è possibile valutare M copie di QUALSIASI f usando solo porte O (N (M + 2 ^ N)) che possono essere molto inferiori a M * exp (N) (in effetti, si ottiene ammortizzato lineare complessità per esponenziale M). Non ricordo un riferimento, ma penso che possa essere simile al seguente:

Per prima cosa aggiungi 2 ^ N input fittizi che sono solo costanti 0 ... 2 ^ N-1 e ora denotiamo l'i-esimo input N-bit di xi (quindi per i <= 2 ^ N abbiamo xi = i, e per 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M abbiamo gli input originali). Ora creiamo una tripletta per ciascuno degli ingressi M + 2 ^ N: (i, xi, fi) dove fi è f (i) per i primi ingressi 2 ^ N (una costante cablata nel circuito) e fi = "*" altrimenti. Ora ordiniamo le terzine (i, xi, fi) in base alla chiave xi e lasciamo che la j'th triplet sia (i_j, x_j, f_j) da questa calcoliamo una tripletta (i_j, x_j, g_j) lasciando g_j be f_j se f_j non è un "*" e lasciare altrimenti g_j g_ (j-1). Ora riordina le nuove terzine in base alla chiave i_j e otterrai le risposte corrette nei posti corretti.

$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"Reti informatiche funzioni booleane per più valori di input"

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

Non riesco a trovare una copia non gated online o una home page per l'autore, ma mi sono imbattuto nel documento in questo procedimento:

Complessità booleana di funzioni (serie di note di lezione della London Mathematical Society)

Per quanto riguarda la complessità algebrica, non conosco un esempio in cui la complessità esponenziale scende alla complessità ammortizzata sub-esponenziale, ma almeno c'è un semplice esempio che la complessità delle copie disgiunte M può essere significativamente inferiore a M volte la complessità di una singola copia :

Per una matrice "casuale" n * n, la complessità della forma bilineare definita da A, (la funzione f_A (x, y) = xAy, dove xey sono 2 vettori della lunghezza n) è Omega (n ^ 2 ) - questo può essere mostrato da un argomento di dimensione "simile a un conteggio" poiché sono necessarie n ^ 2 "posizioni" nel circuito per inserire le costanti. Tuttavia, date n diverse coppie di vettori (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n), puoi mettere le x nelle file di una matrice n * n X, e allo stesso modo le y nelle colonne di una matrice Y, quindi leggi tutte le risposte x ^ iAy ^ i dalla diagonale di XAY, dove questa viene calcolata in n ^ 2.3 (o giù di lì) operazioni usando la moltiplicazione della matrice veloce, significativamente inferiore a n * n ^ 2.

Questo è stato studiato e risolto da Wolfgang Paul che ha mostrato essenzialmente ciò che viene discusso.