La complessità di questo problema di copertura è nota?

Sia un grafico. Un insieme dei vertici è chiamato critico se e nessun vertice in è adiacente ad esattamente un vertice in . Il problema è quello di trovare un insieme dei vertici di calibro minimo tale per ogni insieme critico . $G=(V,E)$ $X\subseteq V$ $X\neq\emptyset$ $V\setminus X$ $X$ $S\subseteq V$ $S\cap X\neq\emptyset$ $X$

Il problema ha la seguente interpretazione che diffonde voci: Vertex diffonde la voce al suo vicino se e solo se tutti gli altri vicini di sono già informati. La domanda è quindi quanti vertici devo informare inizialmente per assicurarmi che tutti siano informati alla fine. $i$ $j$ $i$

— Thomas Kalinowski
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Questa ha una soluzione piuttosto semplice, quindi forse il problema presenta più condizioni di quanto specificato; ignorando il caso speciale

e se

è collegata, ogni vertice

con grado

ha una serie critica

ad esso associati, in modo che solo vicini esclusivamente ° 1 vertici possono essere in

. Se esiste un tale vertice, allora

è un grafico a stelle e il suo centro (come singleton) è la

minima unica . Se

non è collegato, osserva ciascun componente collegato.

X = V

$X=V$

G

$G$

v

$v$

> 1

$>1$

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$

S

$S$

G

$G$

S

$S$

G

$G$

— Joe Bebel,

K_{1, n}

$K_{1,n}$

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$

n - 1

$n-1$

Oh, vedo la mia interpetazione sbagliata

— Joe Bebel,

Domanda molto interessante, un piccolo cavillo: probabilmente vorrai richiedere che i tuoi set critici siano vuoti (altrimenti non ci sono ).

S

$S$

— Klaus Draeger,

@JoeBebel: Il problema decisionale "Esiste una soluzione impostata su di dimensioni al massimo ?" è a NP. Puoi verificare se un set è una soluzione con il seguente algoritmo. Mentre v'è un vertice , che ha esattamente il prossimo esterno , aggiungere ad . Se contiene alla fine tutti i vertici, il tuo set iniziale era una soluzione, altrimenti rimani bloccato, e il complemento del set finale è un set critico, quindi la iniziale non era una soluzione.

S

$S$

K

$K$

S

$S$

v \in S

$v\in S$

w

$w$

S

$S$

w

$w$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Thomas Kalinowski,

Il problema è noto come problema di propagazione . Aazami ha dimostrato nella sua tesi di dottorato che la versione ponderata è NP-completa anche quando il grafico è planare e i pesi dei nodi sono in . La complessità per la versione non ponderata sembra essere un problema aperto. $\{0,1\}$

— Thomas Kalinowski
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