Secondo più piccolo

Si sa qualcosa della seconda più piccola - -cut in una rete a flusso? O, più in generale, su questo problema: $s$ $t$

Ingresso: una rete $N$ e un numero , tutto in binario. Uscita: Un esimo più piccolo - taglio. $k$
$k$ $s$ $t$

Un esimo più piccolo - taglio sono dei - taglio, in modo tale che vi sono esattamente - tagli cui capacità $k$ $s$ $t$ $(S,T)$ $s$ $t$ $k-1$ $s$ $t$

sono diversi a coppie e
veramente più piccolo della capacità di . $(S,T)$

Vorrei sapere come può essere calcolato e se ciò può essere fatto in modo efficiente come nel caso . $k=1$

— Oliver Witt
fonte

È possibile trovare il secondo taglio più piccolo aggiungendo

peso a tutti i bordi nel taglio più piccolo e quindi calcolando il nuovo taglio più piccolo. Questo probabilmente funziona fintanto che

è codificato in unario (e sicuramente per

costante).

ϵ

$\epsilon$

k

$k$

k

$k$

— Yuval Filmus,

Non vedo come questo aiuti. Immagina una rete di percorsi costituita dai tre nodi

solo con i due bordi

. Ulteriormente, lasciate le capacità siano

. Chiaramente, i tagli di taglio minimo

e i secondi tagli di taglio più piccoli

s

$s$

v

$v$

t

$t$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

c (s, v) = 1

$c(s,v)=1$

c (v, t) = 2

$c(v,t)=2$

(s, v)

$(s,v)$

. Aumentare le capacità come descritto descriveresti di nuovo

come taglio minimo con capacità

. Come posso dedurre il secondo taglio più piccolo da quello?

(v, t)

$(v,t)$

(s, v)

$(s,v)$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Oliver Witt,

Aggiungere un limite inferiore al limite di taglio è una disuguaglianza lineare, basta aggiungere un epsilon più grande del limite di min ed eseguire LP. Puoi ripeterlo k volte per ottenere ciò che desideri. Questo probabilmente può essere rifuso come una modifica sulla rete, ma non l'ho capito.

— Kaveh,

Vedo come funziona se

codifica unaria. Cosa succede se è binario? In questo caso, la modifica rete non può essere fatto in

iterazioni.

k

$k$

k

$k$

— Oliver Witt,

Dubito che ci sia una soluzione semplice se k è binario. Possiamo controllare se c'è un taglio del cappuccio c come ho descritto. Mi sembra che essenzialmente contando il numero di possibili c, potrebbe essere fornito in relazione al conteggio del numero di corrispondenze e probabilmente # P-complete. (Questa è solo la mia intuizione, non un argomento.)

— Kaveh

Il secondo taglio più piccolo, e più in generale i tagli più piccoli, si trova nel polinomio temporale in e nelle dimensioni della rete. Vedere: $k$ $k$

HW Hamacher. Un algoritmo per trovare i tagli migliori in una rete. Oper. Res. Lett. 1 (5): 186-189, 1982, doi: 10.1016 / 0167-6377 (82) 90037-2 . $(K\cdot n^4)$ $k$

HW Hamacher, J.-C. Picard e M. Queyranne. Alla ricerca dei migliori tagli in una rete. Oper. Res. Lett. 2 (6): 303–305, 1984, doi: 10.1016 / 0167-6377 (84) 90083-X . $K$

HW Hamacher e M. Queyranne. migliori soluzioni ai problemi di ottimizzazione combinatoria. Ann. Oper. Res. 4 (1–4): 123–143, 1985, doi: 10.1007 / BF02022039 . $K$

— David Eppstein
fonte

Questi non consentono pesi uguali tra i primi

? La domanda sembra porsi sul

-esimo peso , che, come suggerisce Kaveh, ha un odore più simile a un problema # P-completo.

k

$k$

k

$k$

— András Salamon,

Lo capisco anche in questo modo: sono ammessi pesi uguali. Questo sembra non rispondere alla domanda. Tuttavia, non ero a conoscenza di questi documenti, grazie per quello.

— Oliver Witt,

La domanda è formulata male, perché chiede una cosa (il

taglio più piccolo) e poi aggiunge una restrizione che trasforma la domanda in qualcos'altro (il

taglio più piccolo distinto). Concordo sul fatto che la versione con peso distinto del problema sarà probabilmente $ P-complete.

k

$k$

k

$k$

— David Eppstein,