Quando la randomizzazione smette di aiutare in PSPACE

È noto che l'aggiunta della randomizzazione con errori limitati a PSPACE non aggiunge potenza. Cioè, BPPSAPCE = PSPACE.

Non è noto se P = BPP, ma è noto che . $BPP\subseteq \Sigma_2\cap \Pi_2$

Pertanto, è possibile (mentre si ipotizza che sia falso) che l'aggiunta della probabilità a P aggiunga potenza espressiva.

La mia domanda è se conosciamo (o abbiamo prove) del confine tra P e PSPACE in cui l'aggiunta di randomizzazione non aggiunge più potere.

In particolare,

Ci sono problemi noti in (resp. ) che non sono noti in (resp. )? E allo stesso modo per vs ? $BP\Sigma_i$ $BP\Pi_i$ $\Sigma_i$ $\Pi_i$ $BPPH$ $PH$

randomness derandomization polynomial-hierarchy

— Shaull
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BPPH = PH. xxxxxxxxxxxxx

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek - grazie, hai un riferimento per questo risultato?

— Shaull

Questa è solo una relativizzazione del teorema di Gács – Sipser – Lautemann.

— Emil Jeřábek 3.0

Anche se per un limite più stretto, è meglio relativizzare l'inclusione , che dà (per ) e due volte .

A M \subseteq Π_{2}^{P}

$\mathrm{AM}\subseteq\Pi^P_2$

B P Σ_{i}^{P} \subseteq Π_{i + 1}^{P}

$\mathrm{BP}\Sigma^P_i\subseteq\Pi^P_{i+1}$

i \geq 1

$i\ge1$

B P Π_{i}^{P} \subseteq Σ_{i + 1}^{P}

$\mathrm{BP}\Pi^P_i\subseteq\Sigma^P_{i+1}$

— Emil Jeřábek 3.0

C'è una difficoltà con la premessa della sua domanda - "Quando la randomizzazione ferma aiutando all'interno - perché suggerisce che le classi computazionali tale che modulo una sorta di gerarchia lineare quando questo non è evidente. $\mathrm{PSPACE}$ $\mathrm{X}$ $\mathrm{P \subseteq X \subseteq PSPACE}$

Possiamo illustrarlo confrontando la gerarchia polinomiale e le classi di conteggio. Come indica Emil Jeřábek nei commenti, mediante relativizzazione di ,; e quindi . D'altra parte, il teorema di Toda mostra che Se supponi che "la randomizzazione ha smesso di aggiungere energia quando sali a ", allora sarai tentato di sospettare che a causa di

\begin{aligned} B P \cdot Σ_{i}^{p} \subseteq Π_{i + 1}^{p} & and & B P \cdot Π_{i}^{p} \subseteq Σ_{i + 1}^{p} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{BP\cdot \Sigma_i^p \subseteq \Pi_{i+1}^p} &&\text{and}&& \mathrm{BP\cdot \Pi_i^p \subseteq \Sigma_{i+1}^p} \end{align*}$

A M \subseteq Π_{2}^{p}

$\mathrm{AM \subseteq \Pi_2^p}\,$

B P \cdot P H = P H

$\mathrm{BP \cdot PH = PH}$

P H \subseteq B P \cdot \oplus P .

$\mathrm{PH \subseteq BP\cdot\oplus P}.$

P H

$\mathrm{PH}$

P H \subseteq B P \cdot \oplus P

$\mathrm{PH \subseteq BP \cdot \oplus P}$ , forse in effetti . Ma non so che qualcuno congetture questo, o anche quello (che sarebbe una conseguenza necessaria); Penso che qualsiasi risultato di questo tipo sarebbe considerato un grande passo avanti.

B P \cdot \oplus P = \oplus P

$\mathrm{BP \cdot \oplus P = \oplus P}$

P H \subseteq \oplus P

$\mathrm{PH \subseteq \oplus P}$

Ovviamente, se ti preoccupi solo della gerarchia polinomiale e più in generale (per scalare fino a ) formule booleane quantificate, puoi estrarre una sorta di risposta lineare alla tua domanda - nel qual caso i commenti di Emil riguardano una risposta completa quanto è probabile che tu ottenga. $\mathrm{PSPACE}$

— Niel de Beaudrap
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Grazie! Stavo davvero pensando più alla gerarchia polinomiale che ad altre classi. In effetti, questa domanda nasce dallo studio delle restrizioni della logica temporale, quindi c'è una sorta di gerarchia tra loro e le classi di conteggio sono meno rilevanti.

— Shaull

Quindi potresti voler trovare una versione più mirata della tua domanda e riprovare. :-)

— Niel de Beaudrap

Per quanto riguarda il punto "la randomizzazione ha smesso di aggiungere potenza": abbiamo anche , ma questo non implica per tutte le classi .

B P \cdot B P P = B P P

$\mathrm{BP\cdot BPP=BPP}$

B P \cdot C = C

$\mathrm{BP}\cdot\mathcal C=\mathcal C$

C \supseteq B P P

$\mathcal C\supseteq\mathrm{BPP}$

— Emil Jeřábek 3.0

@Emil: abbastanza sicuro, anche se una lamentela equa potrebbe essere che c'è già casualità lì. Ciò solleva la questione se (per qualsiasi classe, per quanto specificato) si possa dire se "contiene casualità", ma questo è un bollitore di pesce molto più complicato.

— Niel de Beaudrap