La prova che il PPAD è difficile?

Vi è spesso una giustificazione filosofica citata per credere che P! = NP anche senza prove. Altre classi di complessità hanno la prova che sono distinte, perché in caso contrario, ci sarebbero conseguenze "sorprendenti" (come il crollo della gerarchia polinomiale).

La mia domanda è: qual è la base per credere che la classe PPAD sia intrattabile? Se esistesse un algoritmo temporale polinomiale per trovare gli equilibri di Nash, ciò implicherebbe qualcosa sulle altre classi di complessità? C'è un argomento euristico per cui dovrebbe essere difficile?

PPAD è piuttosto "basso" sopra P e non cambierebbe molto nella nostra comprensione della complessità se fosse mostrato uguale a P (tranne per il fatto che i pochi problemi in PPAD ora sarebbero in P). La principale "prova" che PPAD! = P è una separazione dell'oracolo, che è essenzialmente equivalente al fatto combinatorio che non esiste una "simulazione black-box".

Buhrman et al. ha mostrato che esiste un oracolo rispetto al quale tutte le funzioni TFNP sono calcolabili in termini di poli-tempo, eppure la Gerarchia polinomiale è infinita. TFNP è una classe che contiene PPAD e i suoi cugini. Questo è un altro risultato che rafforza la nostra sensazione che la PPAD facile non genererebbe conseguenze improbabili nella complessità.

L'articolo è "La gerarchia polinomiale collassa se le funzioni Onto sono invertibili?"

disponibile sul sito web di Lance Fortnow. Sembra che una versione precedente dell'articolo fosse intitolata "Invertire le funzioni e la gerarchia polinomiale" (la nuova versione è sotto questo vecchio nome sul sito di Lance).

(Immagino che nessuno abbia mai risposto a questa domanda più vecchia con i risultati più recenti; eccoti qua :)

• $\mathsf{PPAD}$
• $\mathsf{PPAD}$

$\mathsf{PPAD}$

Mentre questo è stato urtato comunque, forse potrei avere l'arroganza di menzionare un euristico che mi viene in mente.

Un problema NP-completo è, dato un circuito, c'è un input che restituisce True?

• Questo problema sarebbe chiaramente facile se l'ingresso fosse rappresentato "esplicitamente" come un elenco di coppie input-output, piuttosto che "succintamente" come un circuito.

• Il problema è chiaramente teoricamente difficile se l'ingresso è una funzione oracolare black-box piuttosto che un circuito (richiede di provare tutti gli ingressi).

• Il problema nel separare P da NP, se vero, sta nel mostrare che i programmi non possono dissezionare i circuiti in modo efficiente.

I problemi completi di PPAD condividono alcune caratteristiche interessanti qui. Se pensi a End-of-the-Line, viene "dato un grafico rappresentato in modo succinto con alcune restrizioni, e una fonte, trova un sink". E condivide i tre punti precedenti, credo.

Questo documento è rilevante per questo, in quanto tenta di dimostrare che PPAD = P: https://arxiv.org/abs/1609.08934