Quando un grafico ammette un orientamento in cui c'è al massimo una prima passeggiata?

Considera il seguente problema:

Input: un semplice grafico (non orientato) . $G=(V,E)$

Domanda: Esiste un orientamento di soddisfa la proprietà che per ogni esiste al massimo una (diretta) - walk? $G$ $s,t \in V$ $s$ $t$

Questo può essere equivalentemente espresso come:

Input: un semplice grafico (non orientato) . $G=(V,E)$

Domanda: Esiste un orientamento aciclico di soddisfa la proprietà che per ogni esiste al massimo un percorso (diretto) - ? $G$ $s,t \in V$ $s$ $t$

Qual è la classe di grafici per cui la risposta è "sì"? Questo problema può essere risolto in tempi polinomiali?

Alcune osservazioni:

Se il grafico è bipartito, la risposta è "sì".
Se il grafico ha un triangolo, la risposta è "no".

La prima osservazione segue orientando i bordi da una partizione all'altra. La seconda osservazione è facile da controllare. Questo mi ha portato a due ipotesi errate:

La risposta è "sì" se e solo se il grafico è bipartito. (controesempio: il ciclo 5)
La risposta è "sì" se e solo se il grafico è privo di triangoli (controesempio: il prodotto cartesiano di un bordo con il ciclo 5)

graph-theory directed-acyclic-graph

— Austin Buchanan
fonte

È NP-completo con una riduzione da 3SAT non tutti uguali. Per vedere questo, osservalo

$4$
$P$ $P$ $5$ $P$ $5$ $P$

$v$ $k$ $k$ $4$ $4$ $4$ $4$ $4$ $4$ -ciclo, quindi questi gadget possono interagire tra loro solo nell'orientamento dei loro bordi e non attraverso l'esistenza di percorsi più lunghi.

$4$ $P$ $P$ $5$ $5$

$s$ $t$ $s$ $t$

— David Eppstein
fonte

Grazie! Mi ero imbattuto nel wiki multitree prima. Sembra che siano quasi ciò che voglio. Una differenza è che non voglio l'orientamento aciclico del triangolo, ma questo è un multitree.

— Austin Buchanan,

Vorrei citare questo. Preferiresti che citassi la risposta di Suresh qui o in qualche altro modo?

— Austin Buchanan,

Il metodo nella risposta di Suresh va bene. A proposito, ri-multitree: l'ordine aciclico di un triangolo è ok se lo stai pensando come la relazione binaria di un ordine parziale privo di N, ma non per la versione DAG della definizione, perché si suppone che i DAG siano transitivamente ridotto e il triangolo aciclico no. Quindi penso che i multitree (come DAG) siano davvero la stessa cosa della tua domanda.

— David Eppstein,