I risultati della relativizzazione possono essere usati per dimostrare frasi formalmente indipendenti?

È possibile dimostrare che una frase deve essere formalmente indipendente in base al fatto che non è relativizzante? In altre parole, ci sono esempi di frasi nella teoria della computabilità / complessità in cui si può dimostrare sia a) che tutte le prove che risolvono la questione se due classi siano uguali devono relativizzare, e b) che non ci sono prove relativizzanti che può essere utilizzato in tale risoluzione?

Penso che risultati soddisfacenti per la parte b sarebbero più facili da ottenere. Un altro modo di porre questa domanda è: c'è mai stata una frase nella teoria della computabilità o della complessità in cui si può dimostrare che l'uguaglianza o la disuguaglianza devono essere stabilite attraverso l'uso (e solo attraverso l'uso) di tecniche di relativizzazione? Un esempio di questo sarebbe interessante per me.

Grazie; una risposta a entrambe le versioni di questa domanda sarebbe molto interessante per me.

-Philip

Non ci sono domande "naturali" sulla teoria della complessità che sono state dimostrate indipendenti da sistemi formali veramente potenti, come la teoria degli insiemi ZF o l'aritmetica di Peano. (Si potrebbe certamente costruire artificialmente una domanda del genere, giocando con frasi di Gödel.)

D'altra parte, sì, puoi interpretare l'affermazione secondo cui una frase S relativizza nel senso che S può essere provato da un certo insieme ristretto di assiomi (fondamentalmente, gli "assiomi di Cobham" che caratterizzano la chiusura con riduzioni del tempo polinomiale). Viceversa, l'esistenza di oracoli che rendono S vera o falsa equivale a S indipendente da quegli assiomi particolari. Ecco l'articolo da leggere al riguardo, di Arora, Impagliazzo e Vazirani.

Si tratta di una molto carina collegamento matematicamente --- ma vale la pena sottolineare che noi fare avere tecniche (come aritmetizzazione) che vanno al di fuori gli assiomi relativizzare. E non conosco alcun risultato del modulo "se il problema naturale aperto P può essere risolto affatto, allora può anche essere risolto in modo relativizzante".