Condizioni sufficienti per il crollo della Gerarchia polinomiale (PH)

Quali sono alcune affermazioni (non ben note) secondo cui, se vero, il PH deve collassare?

Sono apprezzate le risposte contenenti una breve asserzione di alto livello con riferimento (i). Ho provato a cercare indietro senza molta fortuna.

Esistono un numero (crescente) di risultati di complessità parametrizzati in cui l'esistenza di una kernelizzazione di dimensioni polinomiali implica il collasso del PH al terzo livello. La tecnica centrale è data in [1], basandosi sul lavoro precedente (indicato in [1]).

Come semplice esempio, il problema -Path è la versione parametrizzata del problema Percorso più lungo:$k$

-Path$k$
Instance: un grafico e un intero k . Parametro: k . Domanda: G contiene un percorso di lunghezza k ?$G$$k$
$k$
$G$$k$

Questo problema è in FPT (con algoritmi piuttosto pratici), ma in [2] mostrano che se ha un kernel di dimensioni polinomiali (in ), il PH collassa a Σ P 3 . (La presentazione corrente è generalmente definita come un risultato di kernalizzazione negativo a meno che NP ⊆ coNP / poly o coNP ⊆ NP / poly, quindi la ricerca di qualcosa come "no kernel polinomiale a meno che" non ottenga molti risultati.)$k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Riferimenti

1. HL Bodlaender, BMP Jansen e S. Kratsch, "Limitazione inferiore della kernelizzazione per composizione incrociata", SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), pagg. 277–305. [versione arXiv]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, "Su problemi senza kernel polinomiali", Journal of Computer and System Sciences, 75 (8): 423-434. 2009. [Versione ospitata da Stanford]

Ecco un'altra condizione interessante in cui la gerarchia polinomiale crolla al terzo livello: Supponiamo che un linguaggio NP completo abbia un'auto-riduzione casuale (non adattativa), quindi la gerarchia polinomiale crolla a . Per riferimento: guarda le note di Luca Trevisan . (Teorema 67)$\Sigma_{3}^{P}$

Un'altra condizione interessante è questa:

Sappiamo che il ravvicinamento è in B P P N P (Ora B P P in Σ P 2 marche approssimano # 3 S A T in Σ P 3 ).$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

Inoltre, il teorema di Di Toda, .$PH \subseteq P^{\#P}$

Combinando questi due elementi, otteniamo: se l'approssimazione di equivale a calcolare esattamente # 3 S A T , allora la Gerarchia polinomiale collassa.$\#3SAT$$\#3SAT$

Il crollo di PH è implicito dal crollo della gerarchia booleana . Il risultato originale è dovuto a Kadin [1]; è stato perfezionato da Chang e Kadin [2] per mostrare che

Riferimenti:

[1] Jim Kadin, La gerarchia temporale polinomiale collassa se la gerarchia booleana crolla , SIAM Journal on Computing 17 (1988), n. 6, pagg. 1263–1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Richard Chang e Jim Kadin, La gerarchia booleana e la gerarchia polinomiale: una connessione più stretta , SIAM Journal on Computing 25 (1996), n. 2, pagg. 340–354, doi: 10.1137 / S0097539790178069 .

Il calcolo di soluzioni uniche ai problemi di crollare P H ( Hemaspaandra-Naik-Ogihara-Selman ), ma devi essere un po 'attento a come formalizzi questa affermazione. (Ad esempio, è non noto se N P = U P crolla P H .) Una formalizzazione è il seguente:$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

Supponiamo che esista una tale che per ogni formula 3SAT φ , se φ non è soddisfacente, allora non esiste una x tale che ( φ , x ) ∈ L , e se φ è soddisfacente, allora esiste una x unica tale che ( φ , x ) ∈ L . Quindi P H collassa.$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Un'altra formalizzazione è:

implica ilcollasso di P $\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

Esiste una vasta selezione di risultati ritenuti presupponendo che il PH non collassi. Sia , ovvero P H non collassa. Quindi tali risultati possono essere riassunti in $A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$ , dove B è il risultato dimostrato.$A \implies B$

Con un semplice contrappunto, tale risultato equivale a , ovvero se il risultato non è incondizionato, anchePHdeve collassare. Storicamente, questi risultati hanno avuto due scopi:$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. Aumentare la fiducia nell'intuizione che non collassa, dimostrando che implica risultati che crediamo essere veri (o equivalentemente per contrapposizione, che risultati improbabili implicano un collasso).$\mathbb{PH}$
2. Per stabilire una rete di risultati che sono veri, se si accetta non collassa, senza la necessità di attendere una prova di quel risultato. cioè per stabilire risultati condizionali.$\mathbb{PH}$

Nota: inoltre, non è insolito che gli articoli presumano che non collassi oltre ad altre ipotesi, ad esempio l'ipotesi (generalizzata) di Riemann. Quindi, il contrapositivo mostra semplicemente che almeno una delle ipotesi è falsa.$\mathbb{PH}$

Eccone alcuni succinti:

1. .$PSPACE \subseteq P/poly$
2. $EXP \subseteq P/poly$
3. $NP \subseteq P/log$