La larghezza dell'albero

Sia fisso, e sia un grafico (connesso). Se non sbaglio, dall'opera di Bodlaender [1, Teorema 3.11] risulta che se la larghezza dell'albero di è approssimativamente di almeno , allora contiene una stella come minore. $k$ $G$ $G$ $2k^3$ $G$ $K_{1,k}$

Possiamo ridurre il termine ? Cioè, dice la larghezza dell'albero almeno implica già l'esistenza di un -minore? C'è una prova da qualche parte? $2k^3$ $k$ $K_{1,k}$

[1] Bodlaender, HL (1993). Su test lineari minori con ricerca approfondita in profondità. Journal of Algorithms, 14 (1), 1-23.

graph-theory treewidth graph-minor

— Juho
fonte

Un risultato stretta relazione da Demaine e Hajiaghayi : Per un grafico fisso

, qualsiasi

connessione -minor-grafico di treewidth

ha una

griglia del grafico minore.

H

$H$

H

$H$

w

$w$

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$

— mum

@mhum la costante in

dipende esponenzialmente da

, quindi applicare direttamente questo darà un limite inferiore a

Ω

$\Omega$

| H |

$|H|$

2 k^{3}

$2k^3$

— daniello,

@daniello Questo è davvero il caso. La costante non è molto buona e anche la specializzazione per i grafici senza

minima. Volevo solo sottolineare un risultato vagamente correlato.

H

$H$

— mum

È vero che ogni grafico senza minore ha una larghezza degli alberi al massimo . Lo dimostriamo di seguito, prima alcune definizioni: $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

Let sia la treewidth di e sia la dimensione massima di una cricca in . Un grafico è una triangolazione di se è un sottografo di e è cordale (cioè non ha cicli indotti su almeno vertici). Una triangolazione di è una triangolazione minimo se non corretta sottografo di è anche una triangolazione di . Un sottoinsieme di vertici di $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ è un potenziale cricca massimo se esiste una triangolazione minima di tale che è una cricca massima di . È ben noto che Qui, il minimo è presa su tutti triangolazioni minimali di . $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

La formula precedente implica che per dimostrare che è sufficiente dimostrare che tutte le potenziali cricche massime di hanno dimensioni al massimo . Ora lo dimostriamo. Che sia una potenziale cricca massima di , e supponiamo che . $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

$X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

$K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ $u$ $k$

— Daniello
fonte

Grazie Daniel! Ti capita di sapere se lo stesso argomento (o risultato, davvero) è stato pubblicato da qualche parte?

— Juho,

K_{2, r}

$K_{2,r}$