Calcola il politopo di dimensione più bassa da un determinato set di vettori di segni

Dato un insieme di iperpiani determinati dai vettori normali , i suoi tipi di celle (o vettori di segni) sono tutti vettori per i quali vi esiste un vettore modo che e vale per tutti . Qui, indica il prodotto interno e indica il segno ( o ) del numero reale diverso da zero . $h_1,\dots,h_m \in \mathbf R^d$ $t\in\{+,-\}^m$ $v\in\mathbf R^d$ $\langle v,h_i \rangle \neq 0$ $t_i = \text{sign}( \langle v,h_i \rangle )$ $i$ $\langle u,v\rangle$ $\text{sign}(x)$ $+$ $-$ $x$

Domanda: qual è l'algoritmo più veloce noto per l'operazione inversa? Dato un insieme di tipi di celle, vogliamo calcolare un insieme di iperpiani nel minor numero possibile di dimensioni, in modo che i suoi tipi di celle siano un superset di . $t_1,\dots,t_n$ $t_1,\dots,t_n$

— Holger
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A proposito, non è chiaro quale sia il prodotto interno di un iperpiano e un vettore. Intendevi che fosse il vettore normale -esimo iperpiano?

h_{i}

$h_i$

i

$i$

— Sasho Nikolov,

Sì, dovrebbero essere i normali vettori - ho dichiarato formalmente esattamente quello che sto cercando.

— Holger,

Ciò equivale a calcolare il grado dei segni di una matrice, che è NP-difficile come mostrato in questo documento . Quindi non puoi aspettarti un algoritmo troppo efficiente.

— Sasho Nikolov
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