Due varianti di NP

Ecco due variazioni sulla definizione di NP. Definiscono (quasi certamente) distinte classi di complessità, ma la mia domanda è: ci sono esempi naturali di problemi che rientrano in queste classi?

(La mia soglia per ciò che conta come naturale qui è un po 'più bassa del solito.)

Classe 1 (una superclasse di NP): Problemi con testimoni di dimensioni polinomiali che richiedono tempo superpolinomiale ma sub-esponenziale per la verifica. Per concretezza, diciamo tempo . Ciò equivale alla classe di linguaggi riconosciuta dalle macchine non deterministiche che richiedono tempo ma può solo fare ipotesi poli (n) non deterministiche. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Ci sono problemi naturali nella classe 1 che non è noto / ritenuto essere né in né in ? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

La classe 1 è una classe di lingue, come al solito. La classe 2, d'altra parte, è una classe di problemi relazionali:

Classe 2: una relazione binaria R = {(x, y)} è in questa classe se

Esiste un polinomio p tale che (x, y) in R implica | y | è al massimo p (| x |).
Esiste un algoritmo poly (| x |) -time A tale che, per tutti gli input x, se c'è ay tale che (x, y) è in R, allora (x, A (x)) è in R, e se non esiste tale y, allora A (x) rifiuta.
Per qualsiasi algoritmo B (| x |) -time, ci sono infinitamente molte coppie (x, w) tali che B (x, w) differisce da R (x, w) (qui sto usando R per indicare la sua caratteristica funzione).

In altre parole, per tutti i casi, è facile trovare un testimone se ce n'è uno. Eppure non tutti i testimoni sono facilmente verificabili.

(Nota che se R è in classe 2, allora la proiezione di R sul suo primo fattore è semplicemente in P. Questo è ciò che intendevo dire che la classe 2 è una classe di problemi relazionali.)

Ci sono problemi relazionali naturali in classe 2?

— Joshua Grochow
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Non sono sicuro della domanda. Vuoi problemi che sono ovviamente in una delle classi ma non nell'altra?

— Lev Reyzin

No. Per ogni classe, mi chiedo separatamente se ci sono problemi naturali che si adattano alla classe ma non sono noti per adattarsi ad altre classi di complessità standard. Ad esempio, vorrei sapere se esiste un problema naturale in classe 1 che non è noto per essere in NP.

— Joshua Grochow,

Penso che tu voglia riscrivere la condizione 2 per la Classe 2, poiché altrimenti A può essere l'algoritmo banale che rifiuta sempre. La tua descrizione verbale qui sotto sembra più sensata.

— Andy Drucker,

Per la Classe 2, un esempio un po 'sciocco è R (p, a) = {p è un polinomio intero, a è nell'intervallo di p e | a | = O (poli (| p |)}. R è in Classe 2 ma indecidibile.

— Andy Drucker

Andy: perché non pubblicarlo come risposta anziché come commento?

— Joshua Grochow,

Risposte:

Per la Classe 2, un esempio un po 'sciocco è

R (p, a) = {p è un polinomio intero, a è nell'intervallo di p e | a | = O (poli (| p |)}.

R è in Classe 2 ma indecidibile.

— Andy Drucker
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Prima pensavo fosse giusto, ma ora mi sono confuso. Sia r un limite poligonale e sia un numero intero poli. Quindi

è finito, dove | p | indica la lunghezza in bit della descrizione di p. Quindi penso che il problema sia decidibile, ma sembra ancora difficile dato che i migliori limiti generali su questo set sono (penso) esponenziali in | p |.

{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

— Joshua Grochow,

@Joshua: non capisco bene il tuo commento. Ma avrei dovuto chiarire, intendevo

essere un polinomio multivariato. Quindi impostando

e chiedendo se

valido, si chiede se

abbia una soluzione in numeri interi. Questo è il decimo problema di Hilbert e il problema è indecidibile.

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

— Andy Drucker,

Ah sì. È così che mi sono convinto anche prima :). Grazie.

— Joshua Grochow,

Vorrei che chiarissi un po 'le condizioni del testimone in classe 1. Sembra che qualsiasi problema appropriatamente delimitato da Co-NP sembrerebbe fare il trucco, è questo che intendevi?

$\log n$

— Magnus Wahlström
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n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Aggiornerò la domanda di conseguenza). Mi chiedo se una versione di qualche altro problema parametrizzato possa fare il trucco, ma non ho familiarità con la complessità parametrizzata.

— Joshua Grochow,

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Probabilmente non è in QP perché può esprimere tutti i problemi in NP, e probabilmente non è in NP perché può esprimere tutti i problemi in co-NTIME (polilogo).

— Robin Kothari
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f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Sì, immagino che funzionerebbe.

— Robin Kothari,