Come dimostrare che USTCONN richiede spazio logaritmico?

USTCONN è il problema che richiede stabilire se v'è un percorso dal vertice sorgente $s$ al bersaglio vertice $t$ in un grafo $G$ , dove questi sono tutti forniti come parte dell'input.

Omer Reingold ha mostrato che USTCONN è in L (doi: 10.1145 / 1391289.1391291 ). La dimostrazione costruisce un espansore a grado costante per mezzo del prodotto a zig-zag. Un espansore a grado costante ha un diametro logaritmico e si possono quindi controllare tutti i possibili percorsi usando un numero costante di marcatori di dimensioni logaritmiche.

Il risultato di Reingold dà un limite logaritmico superiore alla complessità spaziale di USTCONN, risolvendo la sua complessità spaziale "fino a un fattore costante" secondo il documento. Sono curioso del limite inferiore corrispondente, che non è menzionato in nessun'altra parte del documento.

Come si dimostra che lo spazio logaritmico è necessario per decidere USTCONN nel peggiore dei casi?

Modifica: fissa la rappresentazione di input in modo che sia la matrice di adiacenza $N \times N$ del grafico diretto semplice simmetrico $N$ -vertex sottostante , con le righe elencate consecutivamente per formare una stringa $N^2$ bit.

Lewis e Papadimitriou hanno mostrato (doi: 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ) che USTCONN è SL-complete, che con il risultato di Reingold implica che SL = L. Savitch ha mostrato (doi: 10.1016 / S0022-0000 (70) 80006-X ) che $\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$ . Ulteriore $\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$ per qualsiasi funzione calcolabile $f(n) = o(\log\log n)$di Stearns, Hartmanis e Lewis (doi: 10.1109 / FOCS.1965.11 ), quindi per USTCONN è necessario almeno $\Omega(\log\log n)$ . Infine, le solite classi note per essere al di sotto di L (come $\text{NC}^1$ ) sono definite in termini di circuiti e non sono ovviamente paragonabili a nessuna classe definita in termini di spazio.

Per quanto posso vedere, questo lascia aperta la possibilità (certamente improbabile) che esista un algoritmo deterministico ancora migliore che utilizza solo lo spazio $O((\log n)^\delta)$ ma $\Omega(\log \log n)$ , per alcuni $\delta < 1$ , o anche un algoritmo non deterministico per USTCONN che usi $o((\log n)^{1/2})$ lo spazio.

f ( n ) DSPACE ( o ( log n ) $\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$$f(n)$$\text{DSPACE}(o(\log n))$

Fintanto che esiste un linguaggio in L che richiede spazio logaritmico, mostrando quindi che USTCONN è completo per L in un modo strettamente "più debole" della riduzione dello spazio di log produrrebbe il limite inferiore desiderato.

USTCONN è completo per L con una riduzione che richiede spazio?$o(\log n)$

Immerman ha mostrato (doi: 10.1137 / 0216051 ) che una versione di raggiungibilità diretta in cui il percorso desiderato (ma non il grafico stesso) è deterministico, è completa per L in riduzioni del primo ordine, che sono calcolabili da circuiti AC . Questo potrebbe quindi forse essere adattato per mostrare che USTCONN è completo per L con riduzioni FO. Tuttavia, sebbene AC sia strettamente contenuto in L, AC è di nuovo una classe circuitale e non sono a conoscenza di alcun modo per eseguire riduzioni FO nello spazio sublogaritmico.0 $^0$$^0$$^0$

Modifica 14-07-2015: È un interessante problema filosofico se l'utilizzo dello spazio di una TM debba includere la dimensione di un indice nell'input (consentendo così l'accesso casuale all'input, ma necessita di un bit in più se l'input raddoppia in dimensioni ) o se lo spazio utilizzato da una TM è il numero di quadrati del worktape visitati durante un calcolo (che presuppone che la testina del nastro di input sia fissa e non cambi quando il nastro di input raddoppia di dimensioni). La precedente definizione in stile RAM fornisce immediatamente uno spazio di log inferiore per qualsiasicalcolo e modella i computer attuali che tengono traccia della posizione corrente in un file come offset dall'inizio del file. Quest'ultima definizione classica presuppone un nastro simile alla carta con una testina di lettura fissa che non sappia nulla del nastro diverso dal simbolo di input corrente, che probabilmente è ciò che Turing intendeva nel suo documento del 1937.

Argomenti euristici come il commento di Thomas, secondo cui non è nemmeno possibile indicizzare l'input con bit di spazio, sembrano assumere una moderna definizione in stile RAM. Stearns / Hartmanis / Lewis usano la definizione in stile TM, così come la maggior parte dei lavori classici nel calcolo limitato dallo spazio.$o(\log n)$

Si può dimostrare uno spazio di log inferiore per USTCONN rappresentato come una matrice di adiacenza osservando che il linguaggio unario dei quadrati perfetti richiede lo spazio di log per riconoscere (vedi Rūsiņš Freivalds, Models of Computation, Riemann Hypothesis, and Classical Mathematics , SOFSEM 1998, LNCS 1521, 89 –106. Doi: 10.1007 / 3-540-49477-4_6 ( prestampa)). Quindi lo stesso limite inferiore si applica a USTCONN con la rappresentazione della matrice di adiacenza. Questo è forse troppo ingannevole: di solito far rispettare la promessa in un problema di promessa è pensato per essere facile rispetto al problema reale, ma qui far valere la promessa che l'input è un grafico fornisce già il limite inferiore. Quindi sarebbe bello vedere un argomento per uno spazio di registro inferiore per il problema di promessa in cui si garantisce che l'input provenga dalla lingua .$\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

L'articolo Conteggio dei quantificatori, relazioni successive e spazio logaritmico , di Kousha Etessami, dimostra che il problema (che sta essenzialmente verificando se un vertice s precede un vertice t in un diagramma di livello inferiore G , che è promesso di essere un percorso) è L -hard sotto proiezioni libere quantificatore.$\mathbf{ORD}$$s$$t$$G$$\mathsf{L}$

Il problema può essere visto per ridurre il problema U S T C O N N , da F O -reductions: Dato un esempio ⟨ G , s , t ⟩ di O R D basta eliminare il bordo di t ed uscita altri bordi u → v come bordi non orientati { u , v } la U S T C O N N questione è se$\mathbf{ORD}$$\mathbf{USTCONN}$$\mathsf{FO}$$\langle G,s,t\rangle$$\mathbf{ORD}$$t$$u \rightarrow v$$\{u,v\}$$\mathbf{USTCONN}$ sono collegati nel grafico risultante. (Nota: la riduzione può probabilmente essere resa ancora più fine.)$s,t$