Complessità della localizzazione nelle reti wireless

Lasciare punti distinti $1 ... n$ siediti in $\mathbb{R}^2$ . Diciamo che punti $i$ e sono vicini se | ij | <3 \ pmod {n-2} , il che significa che ogni punto è vicino con punti con indici entro 2 , che si avvolgono.$j$$|i-j| < 3 \pmod{n-2}$$2$

Il problema è:

Ad ogni coppia di vicini ci vengono date le distanze a coppie (e sappiamo quale distanza corrisponde a quali punti) e vogliamo ricostruire le distanze a coppie di tutti i punti. La mia domanda è: qual è la complessità di questo problema di localizzazione?

Non conosco un algoritmo temporale polinomiale.

Ciò è motivato da problemi di localizzazione nelle reti di sensori , in cui gli agenti, collocati ad hoc, possono comunicare in modalità wireless con i loro vicini lessicografici e vogliamo ricostruire le loro posizioni.

Non so molto sui problemi di geometria / localizzazione, quindi questo potrebbe essere facile o noto. Il problema più vicino che conosco è il problema Turnpike , recentemente sottolineato su questo forum da @Suresh Venkat.

(Non ho una vera risposta, ma questo era troppo lungo per un commento, quindi pubblicandolo qui comunque ...)

Ho il sospetto che il problema è NP-hard, per riduzione dal problema sottoinsieme somma. Un'idea di prova:

Riduzione: se l' esimo elemento nell'istanza della somma del sottoinsieme è , la distanza tra i nodi e è , la distanza tra e è , anche la distanza tra e è e la distanza tra e è .x i 2 i - 1 2 i s 2 i - 1 2 i + 1 x i 2 i 2 i + 2 x i 2 i 2 i + 1 $i$$x_i$$2i-1$$2i$$s$$2i-1$$2i+1$$x_i$$2i$$2i+2$$x_i$$2i$$2i+1$$\sqrt{s^2 + x_i^2}$

Supponiamo che i bordi tra e per tutti siano verticali. Quindi l'intero grafico è costituito da una catena di rettangoli con diagonali. Tuttavia, puoi "capovolgere" ciascun rettangolo in modo che sia sul lato sinistro di o sul lato destro di . E devi trovare il giusto sottoinsieme di flip in modo che la distanza tra l'ultimo nodo e il nodo sia "corretta" (e la distanza tra e sia corretta e la distanza tra e è corretta).2 i i 2 i + 2 2 i 2 i n = 2 k 2 2 k - 1 1 2 k - 1 $2i-1$$2i$$i$$2i+2$$2i$$2i$$n = 2k$$2$$2k-1$$1$$2k-1$$2$

Fin qui tutto bene, ma i nostri rettangoli non sono molto rigidi; potremmo anche capovolgere lungo la diagonale. Tuttavia, credo che se scegliamo un valore brutto , allora forse potremmo dimostrare che tutto va terribilmente male se abbiamo mai lanciamo lungo una diagonale (ad esempio, le coordinate di non saranno razionale)? Tuttavia, ciò potrebbe richiedere alcune modifiche nei valori .2 k x $s$$2k$$x_i$

In realtà è NP-difficile. Vedere il seguente documento per i riferimenti.

Sriram V. Pemmaraju, Imran A. Pirwani: realizzazione virtuale di buona qualità di grafici a sfera unitaria. SEC 2007: 311-322

Drineas et al. ha scritto l'articolo Ricostruzione della matrice di distanza da informazioni sulla distanza incomplete per la localizzazione della rete di sensori . Ma ciò che ottengono probabilmente non è esattamente quello che chiedi: calcolano l'intera mappa della distanza da una incompleta, anche in presenza di rumore e guasti ai nodi.