MLTT è efficacemente pCiC senza Prop?

La teoria del tipo Martin-Löf è fondamentalmente il calcolo predicativo delle costruzioni induttive senza impredicative ? $\mathtt{Prop}$

Se sono strettamente correlati ma con più differenze rispetto al semplice , quali sono queste differenze? $\mathtt{Prop}$

type-theory calculus-of-constructions

— utente
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Nel mio libro, MLTT è una teoria del tipo dipendente intuizionista (vecchia e consolidata), mentre associo il calcolo delle costruzioni all'assistente di prova di Coq. Ma potrei sbagliarmi.

— Thomas Klimpel,

MLTT utilizza tipi di identità per affrontare l'uguaglianza. Quale sarebbe l'uguaglianza nel frammento predicativo del CiC?

— Martin Berger,

@MartinBerger: CiC ha anche tipi di identità!

— cody

È un po 'come chiedere se il Regno Unito è UE senza gli altri 27 stati membri :-)

— Andrej Bauer,

@AndrejBauer Se fossi abbastanza spiritoso mi inventerei una battuta sulla brexit, ma sfortunatamente non lo sono. :-P

— utente

La risposta breve è sì, MLTT può ragionevolmente essere equiparato a CIC senza impredicative Prop.

Il principale problema tecnico è che ci sono dozzine di varianti quando si parla della teoria del tipo Martin-Löf e, forse più sorprendentemente, quando si parla di CIC. Ad esempio, prendendo la versione di CIC definita nella tesi di Benjamin Werner, non ha nemmeno senso rimuoverlo Prop, dato che non si ha uno Seto nessuno degli universi Type.

Le principali variazioni che si possono considerare in una di queste teorie sono:

Universi : quanti e come sono definiti (Palmgren, On Universes in Type Theory , discute molte variazioni inequivalenti) e se il polimorfismo dell'universo è ammesso o meno .
Quali tipi / famiglie induttivi : Agda ammette tipi induttivi-ricorsivi, ma ci sono molte altre variazioni banali a seconda di quanto "grandi" sono consentiti i tipi nei costruttori e negli eliminatori, gestendo i parametri rispetto agli indici, ecc.
Iniettività dei costruttori di tipi . Ciò porta a un sistema incompatibile con EM in Agda. Ovviamente Epigram ha una "teoria del tipo osservazionale" più estrema, ma questo può essere considerato qualcosa di completamente diverso.
Axiom K : questo viene fornito gratuitamente con alcune versioni di abbinamento di modelli dipendenti.
$\frac{Γ ⊢ t : {I d}_{T y p e} A B}{Γ ⊢ A = B}$ $\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$
La presenza di tipi coinduttivi e principi di eliminazione associati.

Tutte le variazioni di cui sopra (tranne OTT) sono state considerate in letteratura e associate al nome "Teoria del tipo Martin-Löf" o "Calcolo delle costruzioni induttive", principalmente a causa della loro associazione con i sistemi Agda e Coq, rispettivamente.

Quindi la lunga risposta è che non c'è consenso su quale sia la definizione esatta di uno di questi sistemi.

— cody
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