Numero di automorfismi di un grafico per isomorfismo grafico

Sia e due grafici collegati -regolari di dimensione . Lasciate l'insieme di permutazioni tale che . Se , allora è l'insieme di automorfismi di . $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

Qual è il limite superiore più noto sulla dimensione di ? Ci sono risultati per particolari classi di grafici (non contenenti grafici completi / ciclici)? $A$

Nota: Costruire il gruppo dell'automorfismo è almeno altrettanto difficile (in termini di complessità computazionale) quanto risolvere il problema dell'isomorfismo grafico. Infatti, il solo conteggio degli automorfismi equivale al tempo polinomiale all'isomorfismo grafico, cfr R. Mathon, "Una nota sul problema del conteggio isomorfismo grafico".

— Jim
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Wormald ha dimostrato che se $G$ è un grafico a $3$ regioni connesso con vertici 2n, il numero di automorfismi di $G$ divide $3n\cdot 2^n$ . In particolare, questo dà un esponenziale non banale Upperbound per il $3$ caso -normali. Forse ci sono risultati in questa riga per grafici generali $k$ regolati.

Per un limite inferiore, prendi in considerazione la formula con input le cui porte sono addizioni porte del fan-in 2. Quindi, usando un resut di Toran, puoi costruire un grafico -regolare con vertici cui gruppo automorfismi codifica tutti i possibili valutazioni . Ciò implica che il numero di automorfismi di è almeno . Ciò dimostra che esiste un limite inferiore esponenziale per il numero di automorfismi dei grafici -regolari in funzione del suo numero di vertici. $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
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Si prega di considerare il seguente grafico, 1. grafico normale e grafico normale (nessuno di essi è completo o grafico a ciclo) sono uniti tra loro tramite il numero E di bordi, si supponga che questo grafico unito sia un grafico irregolare 2. ogni vertice di grafico regolare ha bordi con il grafico normale . Non ci sono due vertici del grafico regolare , che hanno lo stesso numero di spigoli con il grafico regolare . L'automorfismo di G può essere esponenziale?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— Jim

sì. Il grafico G2 può avere un numero esponenziale di automorfismi. Sia H1 un qualsiasi grafico regolare r1 con n vertici, numerati 1 ... n. Sia H2 un grafico ottenuto con il seguente processo (diviso in 3 commenti). Sia D il grafico a diamante, ovvero un ciclo di 4 cicli insieme a un bordo che collega due vertici precedentemente non adiacenti. Supponiamo che questi due vertici siano i vertici interni di D. Gli altri due vertici sono i vertici esterni di D. Chiaramente, c'è un automorpismo che scambia entrambi i vertici interni e lascia intatti i vertici esterni.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

Consideriamo ora l'unione disgiunta di due cicli C1 e C2 con n (n + 1) / 2 vertici numerati da 1 a n (n + 1) / 2. Considera anche n (n + 1) / 2 copie del grafico diametro. Ora per ogni i, collega uno dei vertici esterni di D_i all'i-esimo vertice di C1 e l'altro vertice esterno all'i-esimo vertice di C2. Quindi il grafico H2 ottenuto con questo processo è 3-regolare e ha un numero esponenziale di automorpismi, poiché i vertici interni di ciascun D_i possono essere scambiati separatamente.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

Ora per ogni vertice v_j di H1 aggiungiamo 2j bordi da v_j ai vertici interni dei diamanti in modo tale che entrambi i vertici interni di un diamante D_i siano collegati allo stesso vertice in H1. Ciò garantisce che i vertici interni del diamante possano ancora essere scambiati e quindi il numero totale di automorfismi nel grafico G2 è esponenziale.

— Mateus de Oliveira Oliveira,

È facile dimostrare che un grafico collegato dell'ordine e della massima valenza ha un gruppo di ordini di automorfismi al massimo . Trova un ordinamento dei vertici in modo tale che, a partire dal secondo, ogni vertice sia adiacente ad almeno un vertice precedente. Sia il sottogruppo che ripara i primi vertici. Questa è una catena discendente di sottogruppi, con e . Segue dal teorema dello stabilizzatore di orbite che e per .

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— Verret

Se si consente di disconnettere i grafici, allora non ci sono buoni limiti superiori, rispetto al numero di vertici.

Per i grafici -regolari prendere l'unione disgiunta di grafici completi . Quindi il grafico ha vertici eautomorphisms. $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— tori
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