Quali prove ci sono che l'isomorfismo grafico non è in ?

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Motivato dal commento di Fortnow sul mio post, Evidenza che il problema del grafico isomorfismo non è completo di $NP$ , e dal fatto che è un candidato principale per il intermedio di (non completo o in ), sono interessato a prove note che non è in . $GI$ $NP$ $NP$ $P$ $GI$ $P$

Una di queste prove è la di un problema limitato di automorfismo grafico (il problema dell'automorfismo grafico a virgola fissa è -completo ). Questo problema e altre generalizzazioni sono stati studiati in " Alcuni problemi NP-completi simili all'isomorfismo grafico " di Lubiw. Alcuni potrebbero argomentare come prova del fatto che nonostante più di 45 anni nessuno ha trovato algoritmo a tempo polinomiale per . $NP$ $NP$ $GI$ $GI$

Quali altre prove dobbiamo credere che l' non sia in ? $GI$ $P$

cc.complexity-theory graph-isomorphism

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

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Anche l'isomorfismo del sottografo è NP-completo.

$\;$

1

Prove un po 'deboli sono la crescente classe di problemi che sono equivalenti allo spazio log di IG, ma nessuno dei quali sembra avere ovvi algoritmi polifunzionali. (Naturalmente, se uno di loro ha un algoritmo polytime, allora lo fanno tutti.)

— András Salamon,

prove circostanziali simili a P vs NP: decenni di ottimizzazione degli algoritmi GI, ad es. nautica che hanno ancora tendenze non-P peggiori verificabili sperimentalmente, apparentemente principalmente su grafici regolari casuali.

— vzn,

1

vedere anche grafici

— concreti

Cosa ne pensi di questo? dharwadker.org/tevet/isomorphism

— Anna Tomskova il

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Prima di questa domanda, la mia opinione era che l'isomorfismo dei grafi potesse essere in P, cioè che non ci sono prove per credere che l'IG non sia in P. Quindi mi sono chiesto cosa sarebbe stato considerato come prova per me: se ci fossero algoritmi maturi per - l'isomorfismo di gruppo che ha sfruttato appieno la struttura disponibile di -gruppi e non avrebbe ancora alcuna speranza di raggiungere il runtime polinomiale, quindi sarei d'accordo che probabilmente GI non è in P. Esistono algoritmi noti che sfruttano la struttura disponibile come test di isomorfismo per - gruppi. di O'Brien (1994) $p$ $p$ $p$ , ma non l'ho letto in modo sufficientemente dettagliato per giudicare se sfrutta appieno la struttura disponibile o se c'è qualche speranza di migliorare questo algoritmo (senza sfruttare la struttura aggiuntiva non ovvia di -gruppi) per raggiungere il runtime polinomiale. $p$

Ma sapevo che Dick Lipton aveva chiesto un intervento verso la fine del 2011 per chiarire la complessità computazionale del problema dell'isomorfismo di gruppo in generale e del problema dell'isomorfismo del gruppo particolare. Quindi ho cercato su Google $p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

per vedere se l'invito all'azione aveva avuto successo. Era davvero:

I giudizi all'ultimo messaggio un documento che raggiunge runtime per alcune importanti famiglie di gruppi, sfrutta gran parte della struttura a disposizione, e riconosce il sopra di carta menzionata dal 1994. Poiché il runtime legato è sia compatibile con l'esperienza che l'isomorfismo grafico non è difficile in pratica, sia con l'esperienza che nessuno è in grado di elaborare un algoritmo temporale polinomiale (anche per l'isomorfismo di gruppo), questo può essere considerato come prova che GI non è in P . $n^{O(\log \log n)}$ $n^{O(\log \log n)}$

— Thomas Klimpel
fonte

rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-intermediate-problems anche scoperto dalla mia ricerca. Cita Teorema 2 grafi è in . Inoltre, ogni problema di promessa in appartiene a come definito per problemi di promessa. ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$ ${\mathsf{SZK}}$ ${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$ Questa è la prova che il GI non è completo di NP, ma questa non era la domanda qui. Consentitemi di aggiungere che non vedo alcun problema con la lunghezza o lo stile della mia risposta, perché interpreto una richiesta di prove come una richiesta di parere motivato.

— Thomas Klimpel

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Non seguo il tuo ragionamento. Come fai a sapere che la "struttura disponibile" è "sfruttata appieno"? Semmai, il documento di Grochow-Qiao non suggerisce che si può fare molto di più con le lezioni di coomologia?

— Sasho Nikolov il

@SashoNikolov Per "struttura disponibile" intendo la conoscenza della struttura nella comunità della teoria dei gruppi, delle comunità correlate e delle pubblicazioni esistenti. Esempi in cui la struttura non è "sfruttata appieno" sono le pubblicazioni il cui obiettivo principale è quello di elaborare un algoritmo pratico attuabile, che quindi si ferma ad un certo punto e menziona solo le restanti limitazioni senza chiare indicazioni se siano fondamentali. Il documento di Grochow-Qiao ha esaminato quelli e ha attaccato direttamente la complessità computazionale dell'isomorfismo di gruppo, quindi i suoi risultati forniscono una buona prova.

— Thomas Klimpel,

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Il set più piccolo di permutazioni che devi controllare per verificare che non esistano permutazioni non banali in un'impostazione della scatola nera è migliore di ma ancora esponenziale, OEIS A186202 . $n!$

Il numero di bit necessari per memorizzare un grafico senza etichetta è di $log_{2}$ . Vedi Naor, Moni. "Rappresentazione succinta di grafici generali senza etichetta." Discrete Applied Mathematics 28.3 (1990): 303-307. La prova del metodo di compressione è un po 'più pulita se ricordo. In ogni caso, consente di chiamata che impostato. Sia ${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$ $U$ per grafici etichettati. $L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)

e convertendo a esponenziali. Basta esaminare le loro firme di tipo mettendo i grafici in forma canonica sembra più facile, ma come mostrato sopra GC semplifica l'IG. $U^L$ $Bool^{L^{L}}$

— Chad Brewbaker
fonte

Grazie. Quanto è forte questo tipo di argomenti?

— Mohammad Al-Turkistany,

c'è un riferimento da citare che documenta ulteriormente questa connessione?

— vzn,

3

@ MohammadAl-Turkistany: questo è fondamentalmente un argomento di complessità della query. Ma algoritmi noti, ad esempio Babai-Luks 1983, hanno già superato questo limite, penso con un margine abbastanza significativo (qualcosa come

contro

2^{n}

$2^n$

).

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— Joshua Grochow il

1

@ChadBrewbaker: se la tua preoccupazione è stata codificata e la complessità nel caso medio sono sicuro che nauty fa molto meglio del tuo algoritmo. (Si noti che il più noto limite inferiore nauty è

(Miyazaki 1996), e un algoritmo di poli-tempo è stato trovato per i grafici Miyazaki. Un'analisi mostra semplice un limite inferiore di

sul tuo algoritmo.) Inoltre, GI è in tempo lineare di medio caso (Babai-Kucera).

Ω (2^{n / 20})

$\Omega(2^{n/20})$

(3 / 2)^{n}

$(3/2)^n$

— Joshua Grochow il

2

@ MohammadAl-Turkistany: questa domanda mi ha fatto riflettere più profondamente sulle mie convinzioni sulla complessità dell'IG. Ri: l'altra tua domanda, nota che se non c'è una riduzione di Turing (o anche più di uno) poli-tempo da GI a GA, allora P

NP.

\neq

$\neq$

— Joshua Grochow,

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Kozen nel suo articolo, un problema cricca equivalente grafico isomorfismo , dà una prova che non è in . Quanto segue è dal documento: $GI$ $P$

"Tuttavia, è probabile che trovare un algoritmo temporale polinomiale per l'isomorfismo dei grafi sia difficile quanto trovare un algoritmo temporale polinomiale per un problema NP-completo. A sostegno di questa affermazione, diamo un problema equivalente all'isomorfismo grafico, una piccola perturbazione di cui NP completo. "

Inoltre, Babai nel suo recente articolo sul grafico Isomorfismo nel tempo quasipolinomiale fornisce un argomento contro l'esistenza di algoritmi efficienti per IG. Egli osserva che il problema isomorfismo tra gruppi (che è riducibile a GI) è uno dei principali ostacoli a porre GI in . Problema isomorfismo tra gruppi (gruppi sono dati dalla loro tableis Cayley) è risolvibile in e non è noto per essere in . $P$ $n^{O(\log n)}$ $P$

Ecco un estratto dall'articolo di Babai:

Il risultato del presente documento amplifica il significato del problema dell'isomorfismo di gruppo (e il problema della sfida dichiarato) come barriera al posizionamento di IG in P. È possibile che lo stato intermedio di IG (né NP-completo, né tempo polinomiale) persisterà.

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

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Dal Lem di Kozen. 3 si può ottenere un esempio più semplice di questo fenomeno: vale a dire, l'isomorfismo del sottografo indotto (è

un sottografo indotto di

) è esattamente GI quando

, ma NP-difficile quando

per qualsiasi

H

$H$

G

$G$

| G | = | H |

$|G|=|H|$

| G | = c | H |

$|G|=c|H|$

c > 1

$c > 1$ . Per i parametri discreti, sappiamo che ci sono problemi in P che diventano rapidamente NP-completi (ad es. 2SAT vs 3SAT). Sai se ci sono esempi di problemi in P con alcuni parametri continui che diventano NP-completi ad una soglia acuta? Se è così, allora questo tipo di ragionamento non sarebbe la prova che GI non è in P, ma non riesco a pensare a un tale esempio dalla cima della mia testa.

— Joshua Grochow il

2

@JoshuaGrochow No, non sono a conoscenza di tali problemi di decisione. Ma per problemi di ottimizzazione So che trovare un incarico soddisfacente

delle clausole è in

, mentre trovare un incarico soddisfacente

delle clausole è

-Hard anche per formule 3sat soddisfacibili (

).

7 / 8

$7/8$

P

$P$

7 / 8 + ϵ

$7/8+ϵ$

N P

$NP$

ϵ > 0

$ϵ>0$

— Mohammad Al-Turkistany,

Oops, la risposta di Klimpel contiene già l'evidenza dell'isomorfismo di gruppo. Ad ogni modo, è utile avere la prospettiva di Babai sull'argomento.

— Mohammad Al-Turkistany,

Babai ha ritirato l'affermazione di runtime quasipolinomiale . Apparentemente si è verificato un errore nell'analisi.

— Raffaello

5

ecco altri risultati non ancora citati

Sulla durezza di Graph Isomorphism / Torán FOCS 2000 e SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

Mostriamo che il problema dell'isomorfismo del grafico è difficile sotto l'uniforme DLOGTIME AC ⁰ riduzioni multiple per le classi di complessità NL, PL (spazio logaritmico probabilistico) per ogni spazio logaritmico classe modulare Mod _k L e per la classe DET dei problemi NC ¹ riducibile a il determinante. Questi sono i risultati di durezza più forti noti per il problema dell'isomorfismo grafico e implicano una riduzione dello spazio logaritmico randomizzata dal perfetto problema di corrispondenza all'isomorfismo grafico. Indaghiamo anche i risultati di durezza per il problema dell'automorfismo grafico.
L'isomorfismo grafico non è CA ⁰ riducibile a Isomorfismo di gruppo / Chattopadhyay, Toran, Wagner

Diamo un nuovo limite superiore per i problemi di isomorfismo del gruppo e del quasigroup quando le strutture di input sono fornite esplicitamente da tabelle di moltiplicazione. Mostriamo che questi problemi possono essere calcolati da circuiti non deterministici di dimensione polinomiale di fan-in illimitato con profondità O (log log n) e bit non deterministici O (log ² n), dove n è il numero di elementi del gruppo. Ciò migliora il limite superiore esistente di [Wol94] per i problemi. Nel precedente limite superiore i circuiti hanno delimitato fanin ma profondità O (log ² n) e anche O (log ² n) bit non deterministici. Dimostriamo quindi che il tipo di circuiti dal nostro limite superiore non può calcolare la funzione di parità. Poiché la parità è AC ⁰riducibile all'isomorfismo dei grafi, ciò implica che l'isomorfismo dei grafi è strettamente più duro dell'isomorfismo di gruppo o quasigroup in base all'ordinamento definito dalle riduzioni AC ⁰ .

— VZN
fonte

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Sebbene questi siano in effetti i limiti inferiori più conosciuti su IG, in realtà non dicono nulla sul fatto che non si trova in P. Nel primo caso, DET non è così vicino a P. Nel secondo caso, nota che la struttura di i gradi

all'interno di P sono già abbastanza ricchi.

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Joshua Grochow il

re "limiti inferiori conosciuti più forti su GI", spesso GI è in NP, quindi una prova effettiva che GI non è in P è equivalente a P ≠ NP! (possibilmente tramite NPI ≠ ∅) ...

— vzn

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Sì, ma, per esempio, sarebbe bello sapere che GI è P-hard! (Naturalmente, la durezza P ha ben poco a che fare con la dimostrazione che qualcosa non è in P, ma suggerirebbe almeno che GI non è in NC!)

— Joshua Grochow,