La complessità di trovare un punto Borsuk-Ulam

Il teorema di Borsuk-Ulam dice che per ogni funzione dispari continua da una n-sfera nello spazio n Euclideo, esiste un punto tale che .$g$$x_0$$g(x_0)=0$

Simmons e Su (2002) descrivono un metodo per approssimare il punto usando il lemma di Tucker . Tuttavia, non è chiaro quale sia la complessità runtime del loro metodo.$x_0$

Supponiamo di avere un oracolo per la funzione un fattore di approssimazione . Qual è la complessità di runtime (in funzione di ) di:$g$$\epsilon>0$$n$

1. Trovare un punto tale ?$x$$|g(x)|<\epsilon$
2. Trovare un punto tale che , quando è un punto che soddisfa ?$x$$|x-x_0|<\epsilon$$x_0$$g(x_0)=0$

Papadimitriou ha mostrato che una versione di questo problema è completa in PPAD nel documento che introduce quella classe, "Sulla complessità dell'argomento di parità e altre prove inefficienti dell'esistenza" .

La sua formulazione del problema è:

$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Sidenote - molte volte quando vedi un tipo di teorema a virgola fissa, PPAD è una buona ipotesi per la complessità di trovarlo ...)

$g$$g$$n=1$

Se l'oracolo è dato da qualche macchina di Turing, allora capisci che il tuo problema è

1. FIXP-complete,

2. PPAD-complete,

$\epsilon$