A quale classe di complessità appartiene questo problema di teoria dei numeri?

'Dato $a,b,c\in\Bbb N$ , c'è $x,y\in\Bbb N$ , $ax^2+by=c$ ' è $\mathsf{NP}$ -completo.

A quale classe di complessità appartiene 'Dato $a,b,c\in\Bbb N$ , esiste $x,y\in\Bbb N$ , $ax^2+by^2=c$ '?

Perché il primo problema NP è completo? Un riferimento sarebbe apprezzato. :)

— Michael Wehar,

@MichaelWehar, Quadratic Diophantine è NP-complete. Penso che sia anche a Gary e Johnson.

— Kaveh,

È AN8 in Garey e Johnson, pagina 250: Manders e Adleman, "Problemi di decisione NP-completi per la quadratica binaria", 1978.

— Kaveh,

L'esistenza di soluzioni razionali è polinomialmente riducibile al factoring, quindi in

N P \cap c o N P

$\mathrm{NP}\cap\mathrm{coNP}$ : usando il principio di Hasse , equivale a verificare che il simbolo di Hilbert

(a / c, b / c)_{p} = 1

$(a/c,b/c)_p=1$ per tutti i numeri primi

p ∣ 2 a b c

$p\mid2abc$ .

— Emil Jeřábek 3.0

a = b = 1

$a=b=1$

c

$c$

p \equiv 3 (\mod 4)

$p\equiv3\pmod4$

c

$c$

c

$c$

Aggiunto in seguito: Come notato nei commenti, il limite superiore NP è banale se a, b e c sono positivi, come è stato chiesto.

Il teorema 1.2 in questo documento mostra che decidere se una determinata equazione diottantina in due variabili ha una soluzione è in NP.

— Manu
fonte

Non è una buona risposta (afferma l'ovvio).

Questo sembra rispondere alla domanda che è stata posta. Se intendevi ulteriori condizioni, è necessario includerle nella domanda.

— András Salamon,

@ AndrásSalamon, non, NP limite superiore sembra banale quando e sono entrambi non negativo (così ed sono polinomialmente delimitata da in , , e ). La vera domanda è se è difficile per NP.

a

$a$

b

$b$

x

$x$

y

$y$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

— Kaveh,

@Kaveh: sì, ma non è quello che è stato chiesto. Inoltre, presumo che a, b, c siano dati in binario, quindi xey sono limitati in modo esponenziale solo in n?

— András Salamon,

@ AndrásSalamon, Le loro dimensioni sono delimitate polinomialmente in . Come ho detto, essere in NP è banale per il problema. Il documento parla di un caso più generale di cui non si tratta la domanda.

n

$n$

— Kaveh,