Dimostrando limiti inferiori dimostrando limiti superiori

Il recente risultato del limite inferiore della complessità del circuito rivoluzionario di Ryan Williams fornisce una tecnica di prova che utilizza il risultato del limite superiore per dimostrare i limiti inferiori della complessità. Suresh Venkat nella sua risposta a questa domanda, ci sono risultati controintuitivi nell'informatica teorica? , ha fornito due esempi per stabilire limiti inferiori dimostrando limiti superiori.

• Quali sono gli altri risultati interessanti per dimostrare i limiti inferiori della complessità che sono stati ottenuti provando i limiti superiori della complessità?

• $NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

Si potrebbe invertire la domanda e porre quali limiti inferiori non sono provati dimostrando un limite superiore. Quasi tutti i limiti inferiori della complessità della comunicazione (e il limite inferiore dell'algoritmo di streaming e i limiti inferiori della struttura dei dati che si basano su argomenti di complessità della comunicazione) dimostrano che un protocollo di comunicazione può essere trasformato in modo costruttivo in uno schema di codifica, con la lunghezza della codifica a seconda del complessità di comunicazione del protocollo e il limite inferiore per il protocollo deriva dal fatto che non è possibile codificare tutti i messaggi n bit utilizzando n-1 bit o meno.

I limiti inferiori del circuito Razborov-Smolensky mostrano come simulare circuiti a profondità limitata mediante polinomi di basso grado.

Un paio di candidati con limiti inferiori che non sono stati dimostrati con un limite superiore potrebbero essere il teorema della gerarchia temporale (anche se, per ottenere i limiti più stretti, è necessaria una macchina di turing universale efficiente, che è un compito algoritmico non banale) e la prova dei limiti inferiori AC0 usando il lemma di commutazione (ma la prova più chiara del lemma di commutazione utilizza un conteggio / incomprimibilità / complessità di Kolmogorov)

In un modo strano, il teorema del PCP stesso è un buon esempio di dimostrare un limite inferiore attraverso un limite superiore. Una strategia randomizzata "efficiente" per la verifica di una prova utilizzando un numero costante di sonde della prova e solo bit casuali porta a un limite inferiore per l'approssimazione del numero di clausole soddisfatte in un'istanza di 3SAT.$\log n$

Il metodo di incomprimibilità è un metodo basato sulla complessità di Kolmogorov per dimostrare limiti inferiori. Una delle prime applicazioni di questo metodo è stata quella di dimostrare che il riconoscimento dei palindromi su una macchina Turing con un singolo nastro richiede tempo quadratico.

A grandi linee, l'idea di questo metodo è di descrivere una procedura per trovare un input usando le informazioni contenute nell'esecuzione di un algoritmo che risolva il problema che consideriamo su questo input. Migliore è la procedura, maggiore è il limite inferiore del problema originale.

Naturalmente, i dettagli completi possono essere trovati nel libro di testo di Li e Vitanyi .

Per la domanda "limite inferiore tramite limite superiore" che hai posto:

Il documento STOC 2010 "Come comprimere la comunicazione interattiva" [BBCR10] arriva a un teorema di somma diretta migliorato per la complessità della comunicazione randomizzata dimostrando un protocollo di compressione migliorato per la comunicazione interattiva.

Specificamente, in due parti di elaborazione qualche funzione congiunta dei loro ingressi reciproci (cioè uno scenario di calcolo interattivo), mostrano che qualsiasi protocollo che comunica bit e rivela bit di nuove informazioni alle parti coinvolte possono essere simulato da un nuovo protocollo utilizzando bit - il limite superiore migliorato.$C$$I$$\tilde O(\sqrt{CI})$

Come conseguenza di questa migliorata compressione del protocollo, mostrano che nel peggiore dei casi: data qualsiasi funzione che richiede tempo per il calcolo individuale, calcolare copie di richiede almeno time - il miglioramento limite inferiore.$f$$n$$k$$f$$\sqrt{k} \cdot n$

Questo è in qualche modo diverso da quello che hai chiesto, ma dato che è collegato, ho pensato di poterlo menzionare.

Carter & Wegman (1977) hanno introdotto la nozione di hashing universale . L'idea è stata utilizzata in numerosi articoli ( Sipser (1983) , Stockmeyer (1983) , Babai (1985) e Goldwasser & Sipser (1986) ) per dimostrare limiti inferiori approssimativi .

Questo fino al 1987, in cui Fortnow fece uso dell'hash universale per dimostrare i limiti superiori approssimativi . (In effetti, per fornire un protocollo per dimostrare limiti superiori approssimativi.)

Modificare:

Questi non sono risultati con limite inferiore, ma potrebbero essere comunque utili:

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

Ho trovato un bell'esempio nel blog di Dick Lipton, Un approccio a P = NP attraverso la complessità descrittiva , che propone una congettura legata al limite superiore (Ipotesi H) che implicherebbe .$P\ne NP$

Ipotesi H : Supponiamo che siano clausole di Horn . Se sono soddisfacenti, esiste un'assegnazione valida per le clausole con complessità descrittiva al massimo polinomiale nella complessità descrittiva delle clausole.$C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

Teorema : supponi che l'ipotesi H sia vera. Quindi,$P \ne NP$

Ecco un esempio di Computational Complexity: A Modern Approach di Arora and Barak (pagina 128):

Se ogni lingua in ha circuiti di dimensione allora$EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$