Esiste una riduzione diretta / naturale per contare abbinamenti perfetti non bipartiti usando il permanente?

Il conteggio del numero di corrispondenze perfette in un grafico bipartito è immediatamente riducibile al calcolo del permanente. Dato che trovare una corrispondenza perfetta in un grafico non bipartito si trova in NP, esiste una certa riduzione dai grafici non bipartiti al permanente, ma può comportare un brutto scoppio polinomiale usando la riduzione di Cook a SAT e quindi il teorema di Valiant per ridurre al permanente.

Una riduzione efficiente e naturale da un grafico non bipartito a una matrice dove sarebbe utile per un'implementazione effettiva per contare gli abbinamenti perfetti usando librerie esistenti e fortemente ottimizzate che calcolano il permanente. $f$ $G$ $A = f(G)$ $\operatorname{perm}(A) = \Phi(G)$

Aggiornato: ho aggiunto una taglia per una risposta che include una funzione calcolabile in modo efficiente per portare un grafico arbitrario in un grafico bipartito con lo stesso numero di corrispondenze perfette e non più di vertici. $G$ $H$ $O(n^2)$

— Derrick Stolee
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Il titolo attuale sembra una domanda a casa, ma la domanda reale è molto più interessante di così. Quasi non ho nemmeno aperto la domanda b / c, pensavo che fosse un compito a casa e che presto sarebbe stato chiuso, fino a quando ho visto che aveva già 9 voti e mi sono incuriosito ... Forse cambiare il titolo in qualcosa di più sulla falsariga di: " Esiste una riduzione diretta / naturale per contare abbinamenti perfetti non bipartiti usando il permanente? "

— Joshua Grochow,

Buona idea. Non ci ho nemmeno pensato. Grazie.

— Derrick Stolee,

Nitpicking: "Dato che trovare un abbinamento perfetto in un grafico non bipartito è in NP" → "Dal momento che contare gli abbinamenti perfetti in un grafico non bipartito è in #P"

— Tsuyoshi Ito,

Il tuo pignolo è corretto, e ho pensato di scriverlo, ma il modo in cui l'ho scritto suggerisce che la riduzione applica le riduzioni di Cook Valente. Sto cercando una riduzione diretta ed efficiente.

— Derrick Stolee,

C'è una riduzione che evita Cook: per prima cosa scrivi una formula VNP per abbinamenti perfetti (posso pensare a uno che è molto simile a quello per il permanente e che ha dimensioni ). Quindi, per l'universalità del permanente, questo può essere scritto come il permanente di una matrice di dimensioni . Questo utilizza il fatto che una formula di dimensione può essere scritta come permanente di una matrice di dimensione . Più diretto che passare attraverso Cook, ma ancora non diretto / naturale come il modo in cui il permanente conta abbinamenti perfetti in un grafico bipartito.

\leq 4 n^{4}

$\leq 4n^4$

4 n^{4} + 1

$4n^4 +1$

S

$S$

S + 1

$S+1$

— Joshua Grochow,

Risposte:

Direi che una "semplice" riduzione della corrispondenza bipartita è altamente improbabile. In primo luogo, darebbe un algoritmo per trovare una corrispondenza perfetta in un grafico generale usando il metodo ungherese. Quindi, la riduzione dovrebbe contenere tutta la complessità dell'algoritmo blossom di Edmond. In secondo luogo, fornirà un LP compatto per un politipo perfetto e quindi la riduzione non dovrebbe essere simmetrica (che è esclusa da un risultato di Yannakakis) e intrinsecamente molto complicata.

— Mohit Singh
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Questi sono tutti buoni motivi per cui è improbabile che ciò esista. Avrei dovuto chiedere confutazioni nella domanda. Probabilmente darò un po 'di grazia a questa risposta, a meno che qualcuno non ti dia torto.

— Derrick Stolee,

Nonostante non sia la risposta che volevo, ho trovato questa una risposta molto soddisfacente.

— Derrick Stolee,

@MohitSingh Potresti per favore elaborare "la non esistenza del metodo ungherese per i grafici non bipartiti", "cosa contiene tutta la complessità dell'algoritmo blossom" e perché questo darebbe "LP compatto per una corrispondenza perfetta e quindi non dovrebbe essere simmetrico" ?

— T .... il

Questo è ovviamente un commento e non una risposta, ma non ho ancora punti reputazione qui, quindi mi dispiace per quello.

Per i grafici senza ponti cubici senza bipartite, ci sono esponenzialmente molti abbinamenti perfetti, come ipotizzavano Lovàsz e Plummer negli anni '70. Il documento è in preparazione. Questo può essere molto rilevante per la tua domanda, o forse per niente.

— Andrew D. King
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