Rispetto alla struttura del dominio, la struttura metrica fornisce dati extra sul set di carrier. Fondamentalmente, puoi confrontare due elementi qualsiasi di uno spazio metrico e inoltre sai quanti due elementi sono diversi, mentre nei domini la struttura dell'ordine è parziale e non hai una misura quantitativa di quanti elementi differiscono.
Pragmaticamente, questa struttura extra è utile in quanto semplifica enormemente la risoluzione delle equazioni di dominio. Negli anni '80 c'erano molti scienziati informatici olandesi che utilizzavano equazioni dello spazio metrico per modellare la concorrenza, ma è anche di interesse attuale.
2−nn) spazi ultrametrici è la vita segreta denotazionale di modelli a gradini. Vedi l'articolo di Birkedal, Stovring e Thamsborg "La soluzione teorica di categoria delle equazioni dello spazio metrico ricorsivo" per alcuni lavori recenti in questo settore.
Ora, tutto questo lavoro è stato focalizzato sull'ottenere modelli, ma non è l'unica cosa a cui siamo interessati: non possiamo semplicemente sostituire gli ordini parziali con la struttura metrica in un modello denotazionale e aspettarci che significhi esattamente lo stesso cosa. Quindi potresti chiederti quale sia l'impatto dei modelli metrici su proprietà come l'astrazione completa, per esempio.
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Questo ulteriore potere risolutivo è sia la forza che la debolezza delle tecniche metriche. Nella loro nota "Step Indexing: the Good, the Bad, and the Ugly", Benton e Hur dimostrano che la struttura extra dei modelli con indicizzazione a gradini è molto utile per loro, per fornire prove di correttezza in stile realizzabilità dei linguaggi di programmazione implementati in termini di cattive lingue di basso livello. Tuttavia, la struttura extra impedisce loro di eseguire ottimizzazioni che sono in qualche modo "troppo efficaci", poiché potrebbero confondere le informazioni sulla distanza. Quindi aiuta e fa male.
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Tuttavia, potresti non volerlo fare. Ad esempio, nella mia recente ricerca (con Nick Benton), ho lavorato sulla programmazione del flusso di dati sincrono di ordine superiore. Qui, l'idea è che possiamo modellare programmi interattivi nel tempo come funzioni di streaming. Naturalmente, vogliamo considerare le definizioni ricorsive (ad esempio, immaginiamo di scrivere una funzione che riceve un flusso di numeri come input e genera un flusso di numeri corrispondente alla somma degli elementi del flusso visti finora).
Ma un obiettivo esplicito di questo lavoro è garantire che siano consentite solo definizioni ben fondate, pur consentendo definizioni ricorsive. Quindi, modello i flussi come spazi ultrametrici e funzioni su di essi come mappe non espansive (a parte questo, generalizza la condizione di causalità della programmazione reattiva). Sotto la metrica che uso, una definizione protetta sulle funzioni di flusso corrisponde a una funzione contrattuale sui flussi, e quindi dal teorema del punto fisso di Banach esiste un punto fisso unico. Intuitivamente, la proprietà di unicità significa che il calcolo dei punti fissi funziona allo stesso modo indipendentemente dall'elemento dello spazio con cui iniziamo, quindi di conseguenza possiamo calcolare punti fissi di funzioni contrattive su uno spazio, anche se lo spazio non ha un minimo elemento nel senso della teoria dei domini.