Un esempio in cui il termine lambda normale più piccolo non è il più veloce

Lasciare la di λ Capitolato essere definita come segue:$size$$\lambda$

• ,$size(x) = 1$
• ,$size(λx.t) = size(t) + 1$
• .$size(t s) = size(t) + size(s) + 1$

Lasciare la complessità di un -term t essere definito come il numero di riduzioni beta parallele da t x alla sua forma normale (usando un valutatore ottimale nel senso di Levy).$\lambda$$t$$t x$

Sto cercando un esempio di due normali term per la stessa funzione in cui il termine più grande ha una complessità inferiore.$\lambda$

...

Modifica per chiarezza

dal momento che sembra che non sia ovvio quello che sto chiedendo, proverò a dare un solido esempio. Spesso si crede che la definizione "ingenua" / "più semplice" di una funzione sia lenta e non ottimale. Prestazioni migliori aumentano la complessità del termine, poiché sono necessarie strutture dati, formule ecc. Aggiunte. Un grande esempio è fibonacciche può essere definito "ingenuamente" come:

-- The fixed fibonacci definition
fib_rec fib n =
    if (is_zero x) 
        then 1 
        else fib (n - 1) + f (n - 2)

-- Using church numbers instead of the λ-combinator to get a normal form
fib n = n fib_rec 0 n 

Questa è spesso considerata la definizione "più semplice" di fib ed è molto lenta (esponenziale). Se espandiamo le dipendenze di fib(le solite definizioni per l'aggiunta del numero di chiesa, pred, is_zero) e lo normalizziamo, otteniamo questo termine:

fib = (λa.(a(λbc.(c(λdef.f)(λde.d)(λde.(de))
      (λde.(b(λfg.(c(λhi.(i(hf)))(λh.g)(λh.h)))
      d(b(λfg.(c(λhi.(i(h(λjk.(k(jf))))))(λhi.g)
      (λh.h)(λh.h)))de)))))(λbc.c)a))

Miglioramenti come le tabelle di memoization aumenterebbero questo termine. Tuttavia, esiste un termine diverso che è molto più piccolo ...

fib = (λa.(a(λb.(b(λcde.(e(λfg.(cf(dfg)))c))))
      (λb.(b(λcd.(cd))(λcd.d)))(λbc.b)))

e, curiosamente, è anche asintoticamente superiore a quello ingenuo, che corre dentro O(N). Di tutte le definizioni che conosco, questa è sia la più veloce che la più semplice . Lo stesso effetto si verifica con l'ordinamento. Le definizioni "ingenue" come ordinamento a bolle e ordinamento per inserzione vengono spesso estese a termini enormi (più di 20 righe), ma esiste una piccola definizione:

-- sorts a church list (represented as the fold) of church numbers
sort = λabc.a(λdefg.f(d(λhij.j(λkl.k(λmn.mhi)l)(h(λkl.l)i))
       (λhi.i(λjk.bd(jhk))(bd(h(λjk.j(λlm.m)k)c))))e)(λde.e)
       (λde.d(λfg.g)e)c

Che è anche più veloce, asintoticamente, di ogni altra definizione che conosco. Questa osservazione mi porta a credere che, a differenza della credenza comune, il termine più semplice, con la minima complessità di Kolmogorov, sia di solito il più veloce. La mia domanda è sostanzialmente se ci sono prove del contrario, anche se avrei difficoltà a formalizzarlo.

$\lambda$

$M$$f(x,y)$$2^y$$P(x)$

$\lambda$$g$$P$$h$$P$$f$$g$

$$f(x,M(h,x))\le M(g,x)\text{ for all large enough inputs }x,$$

$M(g,x)$$g$$x$$M$

Di conseguenza:

• $P$

• $P$

• $P$