Conseguenza di PIT su

Dato in modo tale che i coefficienti di sono delimitate da , vuol hold ? $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$ $p,q$ $B$ $p\equiv q$

Il lemma di Schwartz-Zippel si applica qui poiché vale per i campi generali e e esiste un algoritmo randomizzato efficiente per questo problema. $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Ci aspettiamo che questo problema abbia una derandomizzazione efficiente.

Qual è la conseguenza se questo problema non ha una derandomizzazione efficiente?

big-picture derandomization conditional-results

— András Salamon
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Come si

dato?

p

$p$

q

$q$

$\;$

@RickyDemer Come viene dato nei test polinomiali regolari sull'identità?

Il risultato di Kabanets-Impagliazzo non dice che NON ci aspettiamo una derandomizzazione efficiente?

— Suresh Venkat,

Sì.

$\:$ Ho pensato di sollevarlo da quando con la rappresentazione standard ,

$\hspace{1.76 in}$ stringhe diverse rappresentano elementi distinti.

$\;\;\;\;$

@SureshVenkat: Kabanets e Impagliazzo hanno dimostrato diverse cose, tra cui: 1. Se il PIT può essere derandomizzato, il NEXP non ha circuiti polisize (booleani) o il permanente non ha circuiti polisize (aritmetici); 2. Se il permanente richiede circuiti di dimensioni superpoly, PIT può essere "debolmente" derandomizzato. Dato che le conclusioni di 1. sono generalmente ritenute valide, così come la premessa di 2., direi contrario a te che il risultato di KI afferma che ci aspettiamo una derandomizzazione efficiente.

— Bruno,

Risposte:

Poiché PIT è in , se non esiste una derandomizzazione efficiente allora $\mathsf{coRP}$ (e, in particolare, , ma non è così sorprendente, dal momento che ci aspettiamo che sia vero comunque). Ciò implica anche, naturalmente, che , quindi tutto ciò che implica diventa falso. Ad esempio, non esistono generatori di numeri pseudocasuali sufficientemente forti ed $\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$ avrebbe circuiti di dimensioni non esponenziali! $\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

— Joshua Grochow
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Quindi questo vale indipendentemente dal campo di terra (coefficienti in

dove

Q_{p}

$\Bbb Q_p$

con alcuni limiti sui coefficienti)?

p \in {2, 3, 5, 7, \dots} \cup {\infty}

$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

In effetti, come hai già sottolineato, Schwarz-Zippel-DeMillo-Lipton si applica su campi arbitrari, e tutto ciò di cui ha bisogno è legato al grado dei polinomi (non alla dimensione dei coefficienti né alle dimensioni del circuito). Con un numero molto piccolo di eccezioni, PIT indica in genere la versione con limite di gradi (grado limitato da un polinomio nel numero di variabili).

— Joshua Grochow,

Potrebbe essere una cosa sciocca. Hai menzionato l'indipendenza delle dimensioni dei coefficienti e delle dimensioni del circuito. Ho ipotizzato che la dimensione dipenda dal grado e dalla dimensione del coeff. Ho sbagliato?

La dimensione del circuito può dipendere dalla dimensione del coeff., A seconda del modello (il modello da cui dipende è generalmente chiamato "costante-libero"). La dimensione del circuito dipende solo in misura molto bassa dal livello, nel senso che la dimensione è almeno log del grado, ma in realtà l'algoritmo di coRP che esce da SZDL è quasi al grado. Non dipende nemmeno dalle funzioni fornite come circuiti - solo in una forma in cui possono essere facilmente valutate ("scatola nera").

— Joshua Grochow,

Grazie. È un po 'preoccupante che la derandomizzazione possa essere fatta senza perdita di efficienza anche se i coefficienti stessi possono essere costruttivamente complicati

Ti stai chiedendo di problemi di grande immagine qui. Un numero naturale può essere canonicamente rappresentato in notazione unaria, ma questa rappresentazione è abbastanza inefficiente nello spazio. Potresti anche rappresentarlo in notazione binaria, che è più efficiente nello spazio, ma non più canonica, perché potresti anche usare la notazione tenaria o la notazione decimale. Ma nota che la rappresentazione tramite circuiti non è significativamente meno efficiente della notazione binaria, vedi ad esempio

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

E nota che (...)*(1+1)può essere sostituito da x:=(...) in x+x, quindi non hai nemmeno bisogno di moltiplicazioni per questo. Ma poiché hai moltiplicazione, puoi persino rappresentare in modo efficiente numeri come 1011^101101. Si noti inoltre che è possibile aggiungere, sottrarre e moltiplicare in modo efficiente i numeri in questa rappresentazione. Ma questa rappresentazione non è limitata ai numeri, funziona esattamente allo stesso modo per le funzioni polinomiali multivariate. E per i polinomi, è persino una rappresentazione abbastanza naturale, perché i polinomi sono l'algebra libera per gli anelli commutativi e la rappresentazione come circuito può essere usata per qualsiasi algebra libera.

Ma torniamo ai numeri (naturali) per un momento, numeri come . NJ Wildberger ha scritto alcuni rant ultrafinitisti, ad esempioSet Theory: Dovresti credere? . Nella sezioneMa che dire dei numeri naturali? è ammessal'esistenza di numeri come , perché ovviamente puoi scriverli. Ma l'esistenza di quasi tutti i numeri naturali tra e $c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$ $c$ $0$ $c$ è negato, perché la maggior parte di quei numeri conterrebbe più informazioni di quante potrebbero essere rappresentate dall'universo fisico. La maggior parte della rabbia mi ha fatto ridere, ma questo punto mi ha fatto pensare. Filosofi come Willard Van Orman Quine hanno protestato contro l'affermazione dell'esistenza di possibili non realizzati, tra l'altro perché quelli portano a elementi disordinati che non si possono dire significativamente identici con se stessi e distinti l'uno dall'altro. Quindi ho trovato abbastanza ragionevole chiedermi quali siano le presentazioni numeriche per le quali si eseguono ancora addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni, e almeno determinare in modo significativo se due numeri sono distinti tra loro. La rappresentazione del circuito raggiunge questo ...

Torna a polinomi e rappresentazioni circuitali di algebre libere. Ecco alcune domande generali:

Questa rappresentazione di un'algebra libera consente sempre un'efficace verifica probabilistica dell'identità o è limitata agli anelli commutativi?
-> Il test di identità è spesso persino indecidibile: per , il reticolo modulare libero generato da elementi è infinito e in effetti ha un problema di parole indecidibile (Freese, Herrmann). $n\geq 4$ $n$
Esiste un'algebra libera per la quale test efficaci sull'identità deterministica invaliderebbero qualsiasi congettura comunemente ritenuta, come P! = NP?
-> Sì, il test di identità per l'algebra libera per anelli commutativi regolari è NP-completo. Non l'ho notato per molto tempo, vedi sotto ...
Un efficiente test di identità deterministica per (= l'algebra libera degli anelli commutativi) invaliderebbe eventuali congetture interessanti ? $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Mi chiedo in particolare l'algebra libera per gli anelli commutativi regolari qui (cioè gli anelli con un'operazione inversa generalizzata), poiché consentirebbero di rappresentare numeri razionali e funzioni razionali. Nota che se avessimo usato questa rappresentazione solo per i numeri, allora ci saremmo chiesti se potessimo testare efficacemente a < bquesta rappresentazione. Questa domanda non ha senso per l'anello commutativo libero, ma potrebbe avere senso per i polinomi, se li interpretiamo nel contesto di anelli liberi parzialmente ordinati. Ma un anello parzialmente ordinato è solo una struttura relazionale anziché un'algebra, quindi questo è un diverso tipo di domanda ...

Il lemma di Schwartz-Zippel si applica qui poiché vale per i campi generali e e esiste un algoritmo randomizzato efficiente per questo problema. $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Bene, è vero che il lemma di Schwartz-Zippel si applica qui e che esiste un algoritmo randomizzato efficiente per questo problema, ma questi due fatti non sono direttamente correlati. Ricordiamo che è facile rappresentare in modo efficiente polinomi come da un circuito. Quindi, se è la dimensione del circuito, allora le magnitudini del coefficiente di o $((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$ $n$ $7^{2^{n/2}}$ sono facili da ottenere. Detto questo, il test probabilistico di identità polinomiale funziona ancora su $5^{3^{n/3}}$ $\mathbb Z$ . Il limite sui coefficienti è simile a , e devi solo indovinare casualmente un numero primo che non divide contemporaneamente tutti i coefficienti. Esistonoabbastanza numeri primi dell'ordine per farlo in modo probabilistico efficiente. $B=\exp(\exp(n))$ $O(\log B)$

$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

D'altra parte, credo anche che puoi semplicemente usare qualsiasi generatore di numeri pseudocasuali ragionevole e quindi decidere PIT per tutti gli scopi pratici, se fai un test abbastanza a lungo. Credo solo che non potrai mai sbarazzarti del rimanente (infinitesimale piccolo) dubbio, simile a insiemi di misura zero, che rimangono fastidiosi non essendo vuoti.

— Thomas Klimpel
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P! = N P

$P!=NP$

Sto pensando solo a un problema di algebra gratuita, ma non a quello a cui stai pensando