È ancora aperto per determinare la complessità del calcolo della larghezza degli alberi dei grafici planari?

Per una costante , si può determinare in tempo lineare, dato un grafico di input , se la sua larghezza dell'albero è . Tuttavia, quando entrambi e sono dati come ingresso, il problema è NP-hard. ( Fonte ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

Tuttavia, quando il grafico di input è planare , molto meno sembra essere noto sulla complessità. Il problema era apparentemente aperto nel 2010, un'affermazione che è apparsa anche in questo sondaggio nel 2007 e sulla pagina di Wikipedia per le scomposizioni delle filiali . Viceversa, il problema è richiesto NP-hard (senza prova di riferimento) in una versione precedente dell'indagine precedentemente menzionata, ma presumo che si tratti di un errore.

È ancora aperto per determinare la complessità del problema, dato e un grafico planare , per determinare ha larghezza dell'albero ? Se lo è, è stato affermato in un recente documento? Sono noti risultati parziali? Se non lo è, chi l'ha risolto? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
fonte

Domanda interessante, applausi per il riavvio del sondaggio. Per aggiungere i miei 2 centesimi, credo che la fonte originale per la prova lineare del tempo sia Bodlaender, ma il fattore costante nascosto dalla notazione della complessità asintotica è enorme. Forse uno spin-off / estensione interessante alla tua domanda sarebbe se la restrizione planare consenta un fattore costante più pratico in questo contesto?

— Fasermaler,

Penso che sia un "vecchio e famoso problema", quindi se non trovi un documento probabilmente è ancora un problema aperto. Altre "evidenze": lezione dal corso Graph Algorithms, Applications and Implementsations (2015), lezione dal corso Graphs & Algorithms: Advanced Topics (2014), Encyclopedia of algoritms (2008).

— Marzio De Biasi,

@Sariel: può essere approssimato all'interno di un fattore costante (3/2) utilizzando il fatto che esso e la larghezza di ramo sono all'interno di una costante l'uno dall'altro e la larghezza di ramo piana può essere calcolata in tempo polinomiale. Inoltre può essere approssimato nel registro per tutti i grafici usando Leighton – Rao; vedi kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler il primo passo dell'algoritmo di Bodlaender (e precedenti algoritmi che erano FPT ma non tempo lineare) è calcolare una decomposizione approssimativa dell'albero su cui si può usare la programmazione dinamica per trovare la decomposizione ottimale. Più stretta è l'approssimazione, più veloce è il secondo passo. Quindi il fatto che si possano trovare approssimazioni più strette alla larghezza dell'albero planare usando la larghezza del ramo sembra portare a una migliore dipendenza dal parametro (a spese di tornare al polinomio da lineare). Ma non conosco documenti che lo analizzano attentamente.

— David Eppstein,

Per quanto riguarda il problema dell'approssimazione della larghezza degli alberi. Un'approssimazione

per la ricerca di separatori di nodi sparsi / bilanciati fornirà un'approssimazione

per la larghezza degli alberi. Quindi, nei grafici generali otterremo

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

via ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi e

nelle famiglie planari e appropriate minori chiuse. Per i grafici generali si può ottenere

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

dove

è la larghezza degli alberi.

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— Chandra Chekuri,

Per quanto ne so, la completezza NP di calcolare la larghezza dell'albero di un grafico planare è ancora aperta. Il riferimento più recente che conosco è un sondaggio di Bodlaender del 2012 intitolato "Tracciabilità a parametri fissi di larghezza di albero e larghezza di percorso" che è apparso nella festschrift per il 65 ° compleanno di Mike Fellows. Il problema è elencato nella conclusione del sondaggio.

— Bart Jansen
fonte

Grazie! (E grazie anche a @MarzioDeBiasi per aver suggerito altri riferimenti.) Solo per curiosità, qualcuno capisce anche quando è stato posto il problema per la prima volta?

— a3nm,