Qual è la peggiore complessità del setaccio campo numerico?

Dato composito campo numero generale setaccio è migliore algoritmo di fattorizzazione noto per intero fattorizzazione di . È un algoritmo randomizzato e otteniamo una complessità attesa di $N\in\Bbb N$ $N$ per il fattore. $O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$ $N$

Ho cercato informazioni sulla complessità del caso peggiore su questo algoritmo randomizzato. Tuttavia, non riesco a trovare le informazioni.

(1) Qual è la peggiore complessità del setaccio campo Numero?

(2) Inoltre, la casualità può essere rimossa qui per dare un algoritmo subexponential deterministico?

Risposte:

$e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

$x$ $x^2 \pmod{n}$ $n$ $n$

La complessità nominale nel caso peggiore di tutti questi algoritmi è l'infinito: nel caso del setaccio quadratico e del setaccio campo numerico potresti generare sempre la stessa , mentre nel metodo della curva ellittica potresti generare sempre la stessa curva ellittica . Ci sono molti modi per aggirare questo, ad esempio eseguendo un algoritmo di tempo esponenziale in parallelo. $x$

— Yuval Filmus
fonte

Dato che hai toccato anche ECM: conosciamo un algoritmo randomizzato subexp per calcolare in tempo usando ECM dove è sconosciuto e randomizzato. Hai una stima di quante prove di questo algoritmo sono sufficienti per ottenere e dove ?

n! r

$n!r$

O (e x p (\sqrt{\log n}))

$O(exp(\sqrt{\log n}))$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

Non ho idea di cosa sia , ma in generale, quando si scelgono i parametri in ECM, ci stiamo bilanciando tra la probabilità che la curva sia abbastanza regolare e il tempo di esecuzione richiesto per testare ciascuna curva. Di solito il punto di equilibrio è quando . Quindi il numero previsto di prove dovrebbe essere .

n! r

$n!r$

p

$p$

T

$T$

1 / p \approx T

$1/p \approx T$

O (\exp \sqrt{\log n})

$O(\exp\sqrt{\log n})$

— Yuval Filmus,

n!

$n!$ è fattoriale di . È un problema aperto ottenere una complessità lineare di fattoriale. Sappiamo come calcolare dove è sconosciuto nel tempo di subexp. Se conosciamo due diversi e , possiamo ottenerenel tempo di subexp se .

n

$n$

n! r

$n!r$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(n! r, n! s) = n!

$(n!r,n!s)=n!$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

Ricordo di aver calcolato un po 'di tempo fa. Non credo che potrei ottenere un miglioramento poiché c'è stato un problema e non ricordo i dettagli.

l'ultimo paragrafo sembra strano e potrebbe essere chiarito di più. stai parlando di uno scenario in cui l'RNG è "rotto", nel senso che non campiona lo spazio di distribuzione complessivo? ma allora il parallelismo non aiuterebbe lì? perché sarebbe lo stesso RNG "rotto" in parallelo? o è l'idea che sarebbe una corsa RNG diversa in parallelo? la complessità parallela degli algoritmi di factoring è in realtà un altro argomento complesso, ad esempio alcuni possono essere parallelizzati meglio di altri, il big-O potrebbe non essere esattamente applicabile, ecc.

— vzn

Negli ultimi mesi, una versione del setaccio campo numerico è stata analizzata rigorosamente: http://www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

Fondamentalmente il tempo di esecuzione nel caso peggiore è incondizionatamente e sotto GRH. Questo non è per il setaccio di campo numerico "classico", ma una versione leggermente modificata che randomizza più passaggi per rendere più semplice l'analisi della complessità. $L_n(1/3, 2.77)$ $L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

Credo che il documento corrispondente sia ancora in fase di revisione.

Aggiornamento: il documento è ora disponibile. Jonathan D. Lee e Ramarathnam Venkatesan, "Analisi rigorosa di un setaccio campo numerico randomizzato", Journal of Number Theory 187 (2018), pp. 92-159, doi: 10.1016 / j.jnt.2017.10.019

— Đạo
fonte

Puoi fornire un riferimento più completo dove possiamo saperne di più, con titolo, autore e dove pubblicato, in modo che la risposta sia ancora utile anche se il link smette di funzionare?

— DW,

Poiché il risultato è stato annunciato solo di recente, credo che sia attualmente in fase di revisione come indicato nella mia risposta, e quindi non ancora pubblicato. Aggiornerò la mia risposta in futuro quando saranno disponibili le informazioni sulla pubblicazione.

— djao,

FWIW non sembra essere su arxiv.org. Tuttavia, l'autore è Ramarathnam Venkatesan, che può aiutare le ricerche future qualora fossero necessarie.

— Peter Taylor,

In realtà è un'opera di due autori (JD Lee e R. Venkatesan): cmi.ac.in/activities/…

— Sary