Razborov ha dimostrato che la corrispondenza della funzione monotona non è in mP . Ma possiamo calcolare la corrispondenza usando un circuito dimensionale polinomiale con alcune negazioni? Esiste un circuito P / poli con negazioni che calcola la corrispondenza? Qual è il compromesso tra il numero di negazioni e le dimensioni per la corrispondenza?$O(n^\epsilon)$

Markov ha dimostrato che qualsiasi funzione di $n$ input può essere calcolata con solo $\lceil \log (n+1)\rceil$ negazioni. Una versione costruttiva efficiente è stata descritta da Fisher. Vedi anche un'esposizione del risultato dal blog GLL .

Più precisamente:

Teorema: Supponiamo che sia calcolato da un circuito C con porte g , quindi sia anche calcolato da un circuito C ∗ con 2 g + O ( n 2 log 2 n ) cancelli e ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ negazioni.$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

L'idea principale è quella di aggiungere per ogni filo in C un filo parallelo in w ′ in C ∗ che porta sempre il complemento di w . Il caso di base è per i fili di ingresso: Fisher descrive come costruire un circuito di inversione I ( x ) = ¯ x con porte O ( n 2 log 2 n ) e solo ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ negazioni. Per le porte AND del circuito C , possiamo aumentare $w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ con a ′ = b ′ ∨ c ′ , e similmente per le porte OR. Le porte NOT in C non costano nulla, scambiamo semplicemente i ruoli di w e w ′ a valle della porta NOT. In questo modo, l'intero circuito oltre al sottocircuito dell'inverter è monotono.$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

AA Markov. Sulla complessità di inversione di un sistema di funzioni. J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958.

MJ Fischer. La complessità delle reti a negazione limitata - Un breve sondaggio. In Automata Theory and Formal Languages , 71–82, 1975

Come calcolare l'inversione di bit usando n negazioni$2^n-1$$n$

Lascia che i bit siano ordinati in ordine decrescente, ovvero i < j implica x i ≥ x j . Ciò può essere ottenuto da una rete di smistamento monotona come la rete di smistamento Ajtai – Komlós – Szemerédi.$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

Definiamo il circuito di inversione per bit I n ( → x ) induttivamente: per il caso base abbiamo n = 1 e I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 . Lascia che m = 2 n - 1 . Riduciamo I n (per 2 m + 1 ) bit a una porta I n - 1 (per $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$bit) e una porta di negazione usando le porte e ∨ . Usiamo la negazione per calcolare ¬ x m . Per i < m let y i : = ( x i ∧ ¬ x m ) ∨ x m + i . Usiamo I n - 1 per invertire → y . Ora possiamo definire I n come segue:$\land$$\lor$$\lnot x_m$$i<m$$y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$$I^{n-1}$$\vec{y}$$I^n$

È facile verificare questo inverte considerando i possibili valori di x n e usando il fatto che → x sta diminuendo.$\vec{x}$$x_n$$\vec{x}$

From Michael J. Fischer, The complexity of negation-limited networks - a brief survey, 1975.