Algoritmo di moltiplicazione vettoriale a matrice che utilizza un numero minimo di aggiunte

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Considera il seguente problema:

Data una matrice , vogliamo ottimizzare il numero di aggiunte nell'algoritmo di moltiplicazione per il calcolo . $M$ $v \mapsto Mv$

Trovo questo problema interessante a causa dei suoi legami con la complessità della moltiplicazione di matrici (questo problema è una versione limitata della moltiplicazione di matrici).

Cosa si sa di questo problema?

Ci sono risultati interessanti che collegano questo problema alla complessità del problema della moltiplicazione della matrice?

La risposta al problema sembra coinvolgere la ricerca di circuiti con solo porte di addizione. Cosa succede se consentiamo porte di sottrazione?

Sto cercando riduzioni tra questo problema e altri problemi.

Motivato da

— VZN
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M

$M$

n \times n

$n\times n$

(N, +)

$(N,+)$

({0, 1}, \lor)

$(\{0,1\},\lor)$

n^{2 - o (1)}

$n^{2-o(1)}$

(G F (2), +)

$(GF(2),+)$

ω (n)

$\omega(n)$

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Questo è essenzialmente il problema che ha motivato Valiant a introdurre la rigidità della matrice nella complessità (per quanto ho capito la storia).

Un circuito lineare è un circuito algebrico le cui uniche porte sono porte combinate lineari a due ingressi. Ogni trasformazione lineare (matrice) può essere calcolata da un circuito lineare di dimensioni quadratiche e la domanda è quando si può fare di meglio. È noto che per una matrice casuale non si può fare significativamente meglio.

Alcune matrici - come la matrice di trasformata di Fourier, una matrice di basso rango o una matrice sparsa - possono essere notevolmente migliorate.

Una matrice sufficientemente rigida non può essere calcolata da circuiti lineari che sono contemporaneamente dimensioni lineari e profondità di registro (Valiant), ma fino ad oggi non sono note matrici esplicite per le quali esiste un limite inferiore super-lineare sulla dimensione dei circuiti lineari.

Non ricordo di aver visto risultati affermando che è difficile calcolare la dimensione del circuito lineare più piccolo per una data matrice, ma non sarei sorpreso se fosse NP-difficile.

— Joshua Grochow
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È NP-difficile, vedi cstheory.stackexchange.com/a/32272/225

— Ryan Williams,

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$M$

$\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\Omega(n^{4/3})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$ $M$ $n\times n$ $d$

Questi limiti sono essenzialmente i migliori possibili. Vedi capitolo 6.3. nel libro di Chazelle .

— Sasho Nikolov
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