Complessità temporale con esponente irrazionale?

Esiste un problema naturale in P per cui il limite di tempo di esecuzione più noto è della forma , dove è una costante irrazionale ? $O(n^\alpha)$ $\alpha$

cc.complexity-theory time-complexity polynomial-time

— Andras Farago
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Bella domanda! :)

— Michael Wehar,

vedi anche rapporto aureo o nel tempo di esecuzione

π

$\pi$ . questa potrebbe essere presumibilmente una grande lista ...

— vzn

L'ordinamento di un multiset è intorno a nH + n, quindi se si potesse ottenere la convergenza di H (entropia) in qualche che si qualificherebbe tecnicamente. Non lo definirei "naturale" però. Tuttavia, potrebbe esserci qualche problema più naturale in cui l'input viene ridotto in questo modo.

n^{α - 1}

$n^{\alpha-1}$

— KWillets,

Sebbene sia vero che non ho fatto l'analisi, e questo non è strettamente un problema decisionale, sono disposto a scommettere che gli algoritmi di moltiplicazione della matrice più noti (di Coppersmith, Winograd, Stothers, Williams, e altri) hanno un esponente irrazionale.

Questo può essere visto più chiaramente nel semplice caso dell'algoritmo di Strassen, che ha il tempo di esecuzione . $O(n^{\log_2 7})$

E questo non è esattamente quello che hai chiesto, ma Ryan Williams ha dimostrato che tutti gli algoritmi che risolvono SAT nello spazio richiedono il tempo , che è un altro interessante e insolito comparsa di una costante irrazionale in TCS. $n^{o(1)}$ $n^{2 \cos(\pi/7) - o(1)}$

— Joe Bebel
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Gli algoritmi al di là dell'algoritmo di Strassen non funzionano davvero in

per il loro esponente dichiarato

. Piuttosto, per ogni

corrono in

. Ciò è dovuto a diversi limiti legati all'ottenimento di

O (n^{α})

$O(n^\alpha)$

α

$\alpha$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

O_{ϵ} (n^{α + ϵ})

$O_\epsilon(n^{\alpha+\epsilon})$

α

$\alpha$

— Yuval Filmus,

La complessità temporale dell'algoritmo di Strassen è in realtà un artefatto di una ricorrenza del Maestro

risolve in

. Si può venire con molti dei vostri numeri irrazionali preferiti istanziando

con valori diversi.

T (n) = a T (n / b) + f (n)

$T(n) = a T(n/b) + f(n)$

Θ (n^{\log_{b} a})

$\Theta(n^{\log_b a})$

a

$a$

b

$b$

— Huck Bennett,

Sì, sono d'accordo con entrambi. Ho pensato che stavo già perdendo la definizione di P e che non avessi effettivamente verificato se gli esponenti della moltiplicazione della matrice fossero irrazionali. Anche se sarei sorpreso se fossero razionali, dato come sono derivati. In fondo, le moltiplicazioni della matrice veloce fanno ancora eco al metodo base di divisione e conquista di Strassen, sebbene sia ora descritto nel linguaggio tensore. In realtà, sebbene sia facile costruire algoritmi come descritto con

irrazionale

, non riesco a pensare a nessun altro algoritmo di divisione e conquista naturale con tale proprietà, oltre alla moltiplicazione.

\log_{b} a

$\log_b a$

— Joe Bebel,

Alcuni algoritmi di moltiplicazione di numeri interi hanno esponenti irrazionali se ricordo bene.

— Yuval Filmus,

Giusto, come quello di Karatsuba. Ma è ancora moltiplicazione :)

— Joe Bebel,