È determinabile se la lunghezza di uscita di un trasduttore è limitata dalla lunghezza di ingresso?

I trasduttori considerati qui sono quelli che Wikipedia chiama trasduttori a stati finiti . Il comportamento di un trasduttore , cioè la relazione che calcola, è scritto : una parola è un output per iff . $T$ $[T]$ $y$ $x$ $x[T]y$

Domanda: è il seguente problema decidibile:

Dato: un trasduttore e un linguaggio regolare Decide: sostiene che , una parola, implica che? $T$ $L$
$\forall x \in L$ $\forall y$ $x[T]y$ $|y| \leq |x|$

Sto cercando analisi non banali / sottocasi risolvibili, riduzione a problemi noti e / o riferimenti correlati. (al momento non sono nemmeno sicuro che sia decidibile in generale ...?)

Motivazione: questo problema è stato ispirato dall'analisi / indagine sul teorema automatizzato che dimostra i problemi teorici numerici in generale e uno altamente studiato, congettura di Collatz , in particolare.

— VZN
fonte

ps (avremmo dovuto menzionare, come noto da tempo) i trasduttori FSM sono abbastanza potenti da calcolare singole iterazioni di "descrizioni istantanee" di TM . quindi il problema sembra probabilmente riguardare LBA e CSL .

— vzn

parli del numero di uscite sull'ingresso

, giusto? Non la dimensione delle uscite, nel qual caso sarebbe abbastanza semplice.

| F (x) |

$|F(x)|$

x

$x$

— Michaël Cadilhac,

sono entrambe parole e

è la lunghezza della parola "output". avere alcune idee, ma al momento non vedo nulla di chiaro quindi la domanda. è presumibilmente non banale a causa, ad esempio, di

ingressi / uscite su alcune transizioni ecc.

x, F (x)

$x, F(x)$

| F (x) |

$|F(x)|$

ϵ

$\epsilon$

— vzn

Quindi presumi implicitamente che il tuo trasduttore sia funzionale - per quanto riguarda la notazione, non mi era chiaro :-) Quindi per quanto riguarda il seguente: Sia

un trasduttore (possibilmente non deterministico) e

un linguaggio regolare. Modifica

in un trasduttore

modo che controlli se il suo input è in

e tutti i suoi stati sono raggiungibili e raggiungibili. Quindi

per tutto

iff non esiste un ciclo semplice nel trasduttore

T

$T$

L

$L$

T

$T$

T^{'}

$T'$

L

$L$

| T (w) | \leq | w |

$|T(w)| \leq |w|$

w \in L

$w \in L$

T^{'}

$T'$ per cui l'input è più piccolo dell'output e alcune proprietà facili aggiuntive sulle transizioni non appaiono in nessun SCC.

— Michaël Cadilhac,

ok. per "input è più piccolo dell'output" intendi nel ciclo? penso che valga la pena scrivere come risposta. c'era un altro modo diverso di formulare questo / problema correlato con criteri più rigorosi che presumibilmente non è (come) facile, forse ci riproverò ("parte 2 / sequel / followup") se la tua risposta sembra corretta. questo problema attuale è probabilmente quasi un caso speciale del problema più ampio.

— vzn,

L'altro contributore ha cancellato la sua risposta, forse per farmi estendere il mio commento sopra, quindi eccolo qui.

Sia un trasduttore forse non deterministico e un linguaggio normale. Modifica in un trasduttore che verifica che il suo input sia in (modificando, ad esempio, lo stato impostato nel prodotto cartesiano degli insiemi di stati di e e modificando la funzione di transizione in modo che la parte degli stati è correttamente aggiornato, pur mantenendo il comportamento di ) $T$ $L$ $T$ $T'$ $L$ $T$ $L$ $L$ $T$

Un ramo di è una sequenza tale che è un percorso semplice accettante in , e ogni è una componente fortemente connessa di i cui stati includono la destinazione di (e l'origine di $T'$ $\rho_1 C_1\rho_2 C_2 \cdots \rho_n C_n \rho_{n+1}$ $\rho_1\rho_2 \cdots \rho_{n+1}$ $T'$ $C_i$ $T'$ $\rho_i$ ). Il ramo èaddomesticatose: $\rho_{i+1}$

La lunghezza di input del percorso è maggiore o uguale alla sua lunghezza di output; $\rho_1\rho_2\cdots\rho_{n+1}$
Per ogni , qualsiasi ciclo semplice in , la lunghezza di input del ciclo è maggiore o uguale alla sua lunghezza di output. $i$ $C_i$

Fatto: Per ogni , implica iff tutti i rami sono addomesticati. $\big[$ $x, y$ $x[T']y$ $|y| \leq |x|$ $\big]$

La prova è piuttosto immediata. Quest'ultima proprietà è decidibile (poiché il numero di rami è limitato e anche il numero di cicli semplici), questo dimostra che il problema della domanda è decidibile.

— Michaël Cadilhac
fonte

Dalla descrizione sembra addirittura decidibile in NL (quindi in P), supponendo che

sia dato da un FSA.

L

$L$

— Emil Jeřábek,

Ti ho inviato un avviso (mi dispiace non aver letto attentamente il tuo commento prima di postare) ma probabilmente non l'hai ricevuto dopo l'eliminazione della risposta :-) ... ma ora - come rimborso temporale - dovresti passare a (e risolvi!) questo più complicato: " Apri problema : esiste

e una codifica calcolabile

tale che, per tutti

?" MrGreen MrGreen

n \geq 1

$n \geq 1$

S_{n}

$S_n$

k \geq 1

$k \geq 1$

L_{\leq n}^{S_{n}} = L_{\leq n + k}^{S_{n}}

$L^{S_n}_{\leq n} = L^{S_n}_{\leq n+k}$

— Marzio De Biasi il

@ EmilJeřábek In effetti, è abbastanza chiaramente in co-NL (quindi in NL).

— Michaël Cadilhac,

@MarzioDeBiasi Grazie! In effetti non ho visto il tuo avviso ☺ Lavorerò per rimborsare il tuo tempo quando ne avrò un po ☺

— Michaël Cadilhac,